初中数学知识点:实数的定义
◎ 实数的定义的定义
实数定义:
实数由有理数和无理数组成,其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
◎ 实数的定义的知识扩展
实数由有理数和无理数组成,数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
实数可以分为有理数(如31、)和无理数(如π、)两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类。
实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。
理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。
在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。
◎ 实数的定义的知识导图

实数的分类:
(1)按定义分类:
                                            正整数
                              整数 {    零
                                             负整数

             有理数{                                     }有限小数或无限循环小数
                                             真分数
                               分数{
实数{                                 负分数

                                    正无理数
                  无理数{                      }无限不循环小数
                                    负无理数


(2)按性质分类:
                                                     正整数
                                正有理数{
             正实数{                        正分数
                                正无理数                          

实数{   零                                 负整数
                               负有理数{
             负实数{                       负分数                 
                               负无理数

◎ 实数的定义的特性
实数的定义分析:
1.实数可以分为有理数(如31、)和无理数(如π、)两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类。
2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量。
3.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。
在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。
4.通常把正实数和零合称为分负数,把负实数和零合称为非正数。
5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。
◎ 实数的定义的知识点拨

实数的性质:
1.基本运算:
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用:
交换律:a+b=b+a , ab=ba
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
分配律:a(b+c)=ab+ac

2.实数的相反数:
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数,它们的和为零,我们就说其中一个是另一个的相反数。
实数a的相反数是-a,a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

3.实数的绝对值:
实数的绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同。一个正实数的绝对值等于它本身;
一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是 :|a|
①a为正数时,|a|=a(不变)
②a为0时, |a|=0
③a为负数时,|a|= a(为a的相反数)
(任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的。)

4实数的倒数:
实数的倒数与有理数的倒数一样,如果a表示一个非零的实数,那么实数a的倒数是:1/a (a≠0)

◎ 实数的定义的教学目标
1、了解无理数及实数的概念,并会对实数进行分类。
2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。
3、对数的认识由有理数扩充到实数。
4、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。
◎ 实数的定义的考试要求
能力要求:理解
课时要求:50
考试频率:常考
分值比重:3
◎ 实数的定义的所有试题