试题列表3-探索规律-初中数学-n多题

探索规律的试题列表

探索规律的试题100

一列数按一定规律列成-2，4，-8，16，-32，64，…，其中某三个相邻的数的和是-24576，求这三个数。观察下列单项式2x，-5x2，10x3，-17x4，……根据你发现的规律写出第8个式子是（）。从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=（）。观察下面几组数，它们具有共同的特点：1，3，5，7，9，11，13，15，……；2，5，8，11，14，17，20，23，……；7，13，19，25，31，37，43，49，……；现在有上述特点的一组数，第一数字解密：第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是17=9+8，…，观察并猜想第五个数应是（）。一跳蚤在一直线上从O点开始，第一次向右跳1个单位长度，第二次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳100次落下时，落观察下列计算：……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：=（）。如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心观察下列各式：=2，，......，请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来（）。如图所示，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1，交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2，交CD，于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得如图所示，将边长为（n=1，2，3，…）的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1，A2，A3，…，①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）长度之如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为（），根据上述规律，第n个整数为（）（n为正整数）。阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向做直线运动，每次碰到矩形如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D。请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是（）将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是（）。如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2=（）；Sn=（）。（用含n的式子表示）对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM=ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”，正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…每个正方形四条边上的整点的个数，按此规律推算出正方形A10B 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和．如在每个小方格的边长均为1的网格图（1）中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17，…，它们有如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P1处，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处，…，如此如图，将边长为（n=1，2，3，…）的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1，A2，A3，…。①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为（）；按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，这列数中的第9个数是（）。如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1，与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C1，又以O为圆如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°……按此规律所作的如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1=（），∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，则∠A2 一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是（），第n个数是（）（n为正整数）。观察下面由分子是1的分数组成的排列，然后回答问题：（1）在这个排列中，有吗？有吗？（2）在这个排列中，有-吗？有-吗？（3）在这个排列中第10行最右边一个数是正数还是负数？（4）在这个多项式x2003-x2002y+x2001y2-x2000y3+…+xy2002-y2003。（1）它是几次几项式？（2）按规律写出该多项式的第1000项，并指出它的系数和次数。大家在幼儿园的时候都唱过下面的儿歌：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水：2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通扑通2声跳下水：3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通扑通扑我们知道，投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是；投掷两枚均匀的硬币，同时出现两个正面朝上的概率是；投掷三枚均匀的硬币，同时出现三个正面朝上的概率是，那么投掷n枚均阅读下列材料并填空：你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较（n+1）n和nn+1的大小（n为正整数），然后分析n=1，n=2，n=3，…，从这把下表补充完整：3132333435363738…392781…（1）从上表中你发现3的整数次幂的个位数字有什么规律？（2）请你判断3225，3408的个位数字分别是几？观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…（1）观察上式后，你发现等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？你能用等式把这个规律表示出来吗？（2）观察l，2，3，4，5，6，…的排列规律：那么，第n行n列的数应是多少（用含n的式子表示）？用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。观察下图并填表：梯形的个数123456…n周长581114…利用计算器计算：（1）0.012，0.12，12，102，1002，10002；（2）0.013，0.13，13，103，1003，10003；（3）通过（1）（2）的计算，探究乘方时小数点的移动规律。观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上写出相应的等式；④和⑤。（2）猜想写出与第n个点阵相对应的等式。①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④；⑤。观察下列各式：①9×0+1=1；②9×1+2=11；③9×2+3=21；④____；⑤9×4+5=41；…（1）请你在横线上填上适当的算式；（2）第6个式子是什么？第100个式子呢？第2009个式子呢？小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出……那么输入数据8时，输出的数据是[]A.B.C.D.有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第n个数记为an，若a1=，从第二个数起，后面每一个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算a2009的值。计算下列各式：15×15=（），27×23=（）。34×36=（），71×79=（）；（1）你发现了什么？（2）你能直接写出-98×92的结果吗？钟面上有1，2，3，…，12共12个数字。（1）试在某5个数字前加负号使这12个数的代数和为0；（2）你能发现什么规律吗？（1）计算下列各题：①|1-2+3|=（），②|1-2+3-4|=（）；③|1-2+3-4+5|=（）；④|1-2+3-4+5-6|=（）；⑤|1-2+3-4+5-6+7|=（）；⑥|1-2+3-4+5-6+7-8|=（）；（2）按照上述规律，你能求出第七，八个式将连续的奇数1，3，5，7，…排成如下的数表，十字框出5个数，请回答：（1）框出的5个数的和与框子最中间的数17有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数如图所示，每个图都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两顶点）有n（n>1）盆花，每个图案花盆的点数是S，写出S与n的关系式。阅读材料：大数学家高斯在上小学时曾研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形。如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是（-8，0），（0，4），（8，0），（0，-4），则菱形AB 下面一组按规律排列的数：-1，2，-4，8，-16，…，第2002个数应是[]A.22002B.22002-1C.22001D.以上选项不对观察下列各式：2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：（）。联欢会上，小红按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第52个气球的颜色是什么颜色？已知n（n≥2）个点P1、P2、P3、…、Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这n个点中的任意两个点所画的直线条数，显然S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，试求S 观察下图中的数表，根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为（），第n行与第n列交叉点上的数应为（）。（用含整数n的式子表示）下列数阵是由偶数排列而成的：（1）图中框内的四个数有什么关系（用式子表示）：______；（2）在数阵中任意作一类似的框，如果这四个数的和为188，能否求出这四个数，怎样求？（3）有理观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，通过观察，写出22009的末位数字是（）。阅读、归纳、猜想。你能比较数20082009和20092008的大小吗？为了解决这个问题，可先把它一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n为正整数），然后，从分析n=1、n=2，n=3、…这些简单观察一组数：-，，-，，...，这样排列下去，第10个数是[]A．B．-C．D．-我们来观察两个算式：①63×67=6×（6+1）×100+3×7=4200+21=4221；②692×698=69×（69+1）×100+2×8=483000+16=483016。我们来观察，这两个算式中两个因数个位上数字之和是多少？其余各位用计算器探索：①=（）；②（）；③=（）…由此猜想：=（）。借助计算器可求出，，…仔细观察上面的计算结果，试猜想=（）。观察与猜想（1）观察：∵112=121，∴=11，∵1112=12321，∴=111，…；（2）猜想（）。计算，，，，，，你能从中找出计算的规律吗？如果将根号内的数10换成5，这种计算的规律是否仍然保持？观察下列算式：32-12=8=8×1；52-32=16=8×2；72-52=24=8×3；92-72=32=8×4；......根据以上式子的特点，试用含有一个字母的等式表示上述规律。已知21=2，22=4，23=8，…（1）你能据此推测264的个位数字是多少吗？（2）根据上面的结论，结合计算，请估计一下（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）的个位数字是多少？按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？（1）填写表格：输入x32-2...输出答案11...（2）发现规律是：______；（3）甩简要的过程说观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；根据以上的计算的规律，请你写出（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=（）。（其中n为正整数）大家一定熟知杨辉三角（I）观察下列等式（Ⅱ）（a+b）1=a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；Ⅱ根据前面各式规律，则（a+b）5=（）。小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：当输人数据是8时，则输出的数（）；当输人数据是n时，则输出的数据是（）。如图所示为乘法表，请把所有填有24的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的格子横向的乘数用x表示，纵向的乘数用y表示，试写出y与x的函数关系式（）。用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒，照这样的规律搭下去，搭n个三角形需要s根火柴棒，那么你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10n+5）（n为自然数），即求（10n+5）2的值，试分析n=1，n=2，观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；……用代数式表示这个规律（n为正整数）：1+3+5+7+9+……+(2n-1)=（）。如图所示是“△”通过平移后得到的图形，根据三角形各层的个数规律，写出各层的三角形个数y与层数x的函数关系式是（）。科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列--裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…仔细观察以上数列，发现它的观察下面的一列数：，-，，-，...。请你找出其中排列的规律，并按此规律填空。（1）第9个数是____，第14个数是____。（2）若n是大于1的整数，按上面的排列规律，写出第n个数为庆祝建国60年，某校开展了一系列的文体活动，其中64名同学报了乒乓球比赛，假设乒乓球选手进行单打淘汰赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局），直至决出单打冠军，那么共比赛的若第一条直线上有3个点，第二条直线上有5个点，第三条直线上有9个点，若按此规律排列下去，则第n条直线上有几个点？若不在同一直线上两个点确定1条线段，三个点确定3条线段，四个点确定6条线段，则n个点确定多少条线段？在同一个平面上，若一条直线把一个平面分成个部分，两条直线把一个平面最多分成个部分，三条直线把一个平面最多分成个部分，则20条直线把一个平面最多分成的部分个数为[]A.观察下列算式：12-02=1+0=1；22-12=2+1=3；32-22=3+2=5；42-32=4+3=7；52-42=5+4=9；62-52=6+5=11；72-62=7+6=13；82-72=8+7=15；…若字母n表示自然数，请你把观察到的规律用含小明用计算机设计了一个计算程序，输入与输出的数据如下表所示，那么，当你输入的数据是2009时，输出的数据应是（）（不必计算结果，写出式子即可）。观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分，求a+b的值。杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，若用有序数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，2）表示分数，求（12，2）表示的分观察下列等式：根据你观察到的规律求13+23+33+...+1003的值，并比较它与50002的大小。观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是（）。找规律（用n表示第n个数）：（1）2，5，10，17，26，…，请写出第n个数；（2）2，4，8，16，32，64，…，请写出第n个数。如图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1、A2、A3……若从点O到点A1的回形线为第1圈（长为7），从点A1到点A2的回形线为第2圈，…，依此类推，则第1 观察下列各式的规律：①；②；③；……则第⑩个等式为（）。已知，若（a、b为正整数），请推测a、b的最小值为a=（），b=（）。观察下列各式：……将你猜想到的规律用n的一个等式来表示：（）。观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…猜想：第n个等式应为（）。（n为正整数）观察下列各式：……计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+100×101）=[]A.97×98×99B.98×99×100C.99×100×101D.100×101×102 小红按某种规律写出4个方程：①x2+x+2=0；②x2+2x+3=0；③x2+3x+4=0；④x2+4x+5=0，按此规律，第五个方程的两个根为[]A.-2、3B.2、-3C.-2、-3D.2、3 如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依如下图中每个阴影部分都是以多边形各顶点为圆心，l为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和为[]A.nπB.C.D.无法确定用计算器探索：①=（）；②（）；③=（）…由此猜想：=（）。观察下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），…以上等式成立吗？_______，你猜想下一个等式应当是_________。把你发现的规律用一个含n的式子表示出来。（不需要证明）有若干个数，依次记为a1，a2，a3，…，an，若，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则a2009=（）。

探索规律的试题200

已知152=225，252=625，352=1225，…，952=9025，认真观察，你能写出反映这种规律的一般结论并说明理由吗？探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9，……，那么37，的个位数字是多少？320 下列单项式-x，2x2，-3x3，4x4，…中，第n项是（）。让我们轻松一下，做一个数学游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1 观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，根据你所发现的规律，那么32009的末尾数字是（）。阅读下列解题过程：；。请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出的值；（2）利用上面的解法，请化简：（3）比较大小：和。一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包（1）如图，某种细胞经过30分钟由1个分裂成2个，经过n小时这种细胞由1个分裂成几个？（2）拉面师傅用一根很粗的面条，捏两头拉伸一次，把两头捏合在一起，再拉伸，反复多次，就把图中的6个数是按一定的规律填入的，后因不慎，一滴墨水涂掉了一个数，你认为这个数是（）。探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；…；那么，37的个位数字是（），320的观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…猜想：第n个等式应为（）。（n为正整数）探索：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1；（1）试求26+25+24+23+22+2+1的值；（2）22010+22009+22008+...+22+2+1的值的探索规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…那么72010+1个位数字是[]A.8B.4C.2D.0 计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-100=（）。阅读下面的文字，完成解答过程。（1），则=_________，并且用含有n的式子表示你发现的规律___________；（2）根据上述方法计算：；（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：如图，23，33和43分别可以按下列方式“分裂”成2个，3个，4个连续奇数的和，63也能按此规律“分裂”，请画出分裂图形。阅读下面一段材料，回答问题。我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下图，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0=1，它只有一项，郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：林军拿了几个数试了一试，列出如下表格：（1）请将表格填写完整；（2）试用一个算式表示这个程序；（3）结合（1），（2）你发现了什么结论？观察下列各式，回答问题：（x2-1）÷（x-1）=x+1（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1...（1）你能得到一般情况下（xn-1）÷（x-1）的结果吗？（2）根据这观察下列等式：（1）32-12=4×2；（2）42-22=4×3；（3）52-32=4×4；则第4个等式为（）；第n个等式为（）。（n是正整数）将一张长方形的纸对折，得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折6次，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？观察下列方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，……，按此规律写出关于x的第n个方程为（），第n个方程的解为（）。观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第n行与n列的交叉点上的数应为（）。（用含有正整数n的代数式表示）有一种运算程序，可以使ab=n（n为常数）时，得（a+1）b=n+1，a（b+1）=n-2，现在已知11=2，那么20092009=（）。一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按下图中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位，那么第2008秒时质点所在位置的坐标是[]A 探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1 阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再如图所示，直线y=x+1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1然后延长C1B1与直线y=x+1交于点A2，得到第一个梯形A1OC1A2；再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2与直线如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c=（），d=（）。一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面，要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，若点B1（1，2），B2（3，4），则Bn的坐标是（）。在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0，例如：当i=2，j=1时，ai，下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位；对第2位数字再已知函数，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如，则f（1）·f（2）·f（3）…f（1000）=（）。如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答：（1）表中第8行的最后一个数是____，它是自然数____的平方，第8行共有____个数；（2）用含n的代数式表示：第n行如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2；连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3。（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形的边长AC2C3 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字（）。甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大阅读下列材料：1×2=（1×2×3-0×1×2），2×3=（2×3×4-1×2×3），3×4=（3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20。读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×观察下面的变形规律：=1-；=-；=-；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=___________；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：+++…+。我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正 △ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2。（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大给出下列命题：命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；命题2：直线y=8x与双曲线有一个交点是（，4）；命题3：直线y=27x与双曲线有一个交点是（，9）；命题4：直线y=64x与双曲线有阅读下面问题：；；根据上面解法作出选择：已知Pn是反比例函数图象上的点（n=1、2、3…2009），分别过Pn做x轴的垂线，垂足是Mn，连接OPn，则这2009个直角三角形的面积和为[]A.B.已知数列，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程（1-x）=（2x+1）的解，则n=（）。观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，（），（），……则第n个数为（）。一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），第n个式子是（）（n为奇数）。如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为（）。已知下列一组数：1，，，，，...；用代数式表示第n个数，则第n个数是[]A、B、C、D、如图是非常著名的“杨辉三角形”，根据图中数据的规律，试判断第6行的数据之和为（）。观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，（），（），则第n个数为（）。小慧和小华玩猜数游戏，小慧对小华说：“你想好一个数，这个数乘以6，加上3；得到的数除以3，再减去你想的数，只要你告诉我正确的结果，我就知道你想的数是几。”小华很好奇，就瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据：，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门。请你根据以上光谱数据的规律写出它的第七个数据（）。下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：图形编号123456图中棋子数581114（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形所需棋子的枚数；（3）其中某一图形可能共有2011枚棋子吗？若不可观察下列等式：想一想，等式左边各次幂的底数与右边幂的底数有什么关系，猜一猜可以得到什么规律，并把这个规律用等式写出来：（）。阅读材料，数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2 观察下列表格：313233343536...392781243729...根据表格中个位数的规律可知，327的个位数是[]A．1B．3C．7D．9 观察下面一列数：根据规律写出横线上的数，-；；-；（）；-；；（）；…，第2007个数是（）。观察下列单项式：-x，2x2，-3x3，…，-9x9，10x10，…从中我们可以发现：（1）系数的规律有两条：系数的符号规律是（）；系数的绝对值规律是（）；（2）次数的规律是（）；（3）根据上面的归纳（1）填空：1-2+3-4+……+49-50=_____________；1-2+3-4+……+99-100+101=_____________；（2）计算：1-2+3-4+…+（-1）n+1n。下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第n个数：，那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是[]A.第10个数B.第11个数C.第1 已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值。一列有规律的单项式：-x，2x2，-3x3，4x4…根据你发现的规律写出第100个单项式：（）。已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……观察上面规律，试猜想22009的末位数是（）。联欢会上，小明按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第52个气球颜色为[]A．红色B．黄色C．绿色D．不确定下面是一组按规律排列的数，1、2、4、8、16……，若20=1，则第2008个数应该是[]A．22005B．22007C．22006D．22007-1 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为请你认真观察和分析图中数字变化的规律，由此得到图中所缺的数字应为A．32B．29C．25D．23 小王买了50元的乘车月票卡，如果小王乘车的次数用n表示，则记录他每次乘车后的余额m（元）如下表：次数余额m（元）150-0.8250-1.6350-2.4450-3.2......（1）写出用乘车的观察下列算式21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；26=64；27=128；28=256；根据上述算式中的规律，你认为22007的末位数字是[]A.2B.4C.6D.8 如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0，过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是（）。观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来（）。下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2005个数是[]A.22005B.22004C.22006D.22003 已知A（2，5），点A关于x轴的对称点A1（2，-5），点A1关于y轴的对称点A2（-2，-5），点A2关于x轴的对称点A1（-2，5），点A3关于y轴的对称点A4（2，5），……，照此规律，（1）请写出A10的坐（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填入下表：方程x1x2x1+x2x1·x29x2-2=02x2-3x=0x2-3x+2=0关于x的方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数且a≠0，b2-4ac≥0）（2）观察表格观察下列各式：13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，所以13+23=（1+2）2，13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，所以13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，所以13+23+33+43=（1+观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据前面各式的规律计算（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）。一根拉直的绳子从中剪一刀分成两段；如果将一根绳子对折后从中剪一刀绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后，从中剪一刀，绳子变成了5段，不妨先做个实验，用一根细绳，先对折若1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+…+x2000的值。如图所示，用正方形卡片摆成新的正方形，第1个图由1张卡片组成，边长是a，面积是a2，第2个图形由4张卡片组成，边长是2a，面积是4a2……请表示出第n个图形的面积。试确定（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）·（216+1）（232+1）+1的末位数字。做一做：画四个宽为1，长分别为2，3，4，5的矩形；算一算：它们的对角线有多长？试一试：平方等于5，平方等于10，平方等于17，平方等于26的数各有几个？根据上面的探究过程，你能观察下面各式：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…（1）写出第2006个式子；（2）写出第n个式子，并证明你的结论。观察下列各式，你会发现什么规律？3×5=15，而15=42-1，5×7=35，而35=62-1，…，11×13=143，而143=122-1，将你猜到的规律用含有一个字母的式子表示出来。请观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以因为1112=12321，所以因为11112=1234321，所以...因此猜想：=（）。老师在黑板上写出了三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，l52-72=8×22。（1）请你写出两个（不同于上面算式）具有观察下列各式的规律，再填空：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；……则（x-1）（x10+x9+…+x+1）=（）。符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…（2）f（）=2，f（）=4，f（）=6，f（）=8，…利用以上规律计算：f（2009）-f（）=（）。连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形……重复这样的操作，经过仔细地观察下列单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是（）（n是正整数）。如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（-1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（m，n）表示第排m，从左到右第n个数，如（4，3）表示实数8，则表示实数15的有序实数对是（）；表示实数2010的有序实数对是（）。如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去，请猜测这样得到的所如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右……），乙锤则在两端各 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，

探索规律的试题300

“小发明家”小颖发明了一个智能电动跳跳蛙，启动后第一次从原地向前跳1㎝并顺时针转90°，接着第二次向前跳2㎝并顺时针转90°，再接着第三次向前跳3㎝并顺时针转90°……，按此程序一已知：直线y=-（n为整数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+S3+...S2011=（）。已知n是正整数，Pn(xn，yn)是反比例函数y=图象上的一列点，其中x1=1，x2=2，…，xn=n，记T1=x1y2，T2=x2y3，…，T9=x9y10；若T1=1，则的值是（）。某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01，我们用矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，若点B1（1，2），B2（3，4），则Bn的坐标是（）。如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，…，依次下去，则点B6的坐标是下列四个说法错误的是[]A.若关于x的抛物线y=（x+m）2+k的顶点为（a，b），那么关于x的抛物线y=（x+m-1）2+k+2的顶点为（a+1，b+2）；B.在等式x+2y=y2+3中，x的最小值为x=2C.古希腊一组按照一定规律排列的数字中，前三个数分别为1，2，3，请写出3后面的三个数。要求：（1）给出至少两种不同的结果；（2）说明每一组数据的排列规律。如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”。已知，如图一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n 如下图所示，正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2，正方形A3B3C3D3、……，正方形AnBnCnDn均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A1，A2，…，An在直线y=x上，点C1，C2，已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，...，10+=102×（a，b为正数），则a=（），b=（）。古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相观察下列关系式：；；；……你可以归纳一般结论是_________；利用上述结论，计算：。一组按规律排列的式子，，，，…，（ab≠0），其中第7个式子是（），第n个式子是（）。瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，...中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按这种规律写出第七个数据是（）。如果记=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=；f（）表示当x=时y的值，即f（）=；...那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+...+f（n）+f（）=（）。（结果用含n的代数式表示）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为_____；（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形。观察下列各等式：，，，…根据你发现的规律，计算：=（）（n为正整数）。如果记y==f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=；f（）表示当x=时y的值，即f（）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+……+f（n）+f（）=（）（结果用含n的代数式表示，n为正整数）。已知下面一列等式。（1）请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式：；；；；…（2）验证一下你写出的等式是否成立；（3）利用等式计算：。观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…,根据上述算式中的规律，请你猜想210的末尾数字是[]A.2B.4C.8D.6 凸n边形的对角线的条数记作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=（）；②a6-a5=（）；③an+1-an=（）。（n≥4，用含n的代数式表示）给出下列命题：命题1．点（1，1）是双曲线y=与抛物线y=x2的一个交点；命题2．点（1，2）是双曲线y=与抛物线y=2x2的一个交点；命题3．点（1，3）是双曲线y=与抛物线y=3x2的一个交点，…请如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”。如：小宇若，，，…；则a2011的值为（）。（用含m的代数式表示）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n是不小于2的正整数）=，如图，在Rt⊿ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA1⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去，请猜测这样得到的观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n（n是正整数）的结果为[]A.B.C.D.如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：当输入数据是8时，则输出的数据是（）；当输入数据是n时，则输出的数据是（）。有一列数A1，A2，A3，A4，A5，…，An，其中A1=5×2+1，A2=5×3+2，A3=5×4+3，A4=5×5+4，A5=5×6+5，…，当An=2009时，n的值等于[]A.334B.401C.2009D.2010 已知直线ln：（n是不为零的自然数），当n=1时，直线l1：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：与x轴和y轴分下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第n个数：，那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是[]A.第10个数B.第11个数C.第1 点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；……，依照点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；……，依照在△ABC中，BC=10，B1、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图③中B1，B2…B9；C1，C2…C9分别是AB、AC的10等分点，B1C1+B2C2+…+B9C 下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D。请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是（）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称如图，在直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）……直线ln⊥x轴于点（n，0），函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，……ln分别交于点B1，B2，B3，……Bn。如观察下列等式：①1=12；②2+3+4=32；③3+4+5+6+7=52；④4+5+6+7+8+9+10=72；…请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是[]A．1005+1006+1007+…+3016=20112B．1005+1006+1007+…+30 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是（）。设，，，…，，设，则S=（）（用含n的代数式表示，其中n为正整数）。如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、…所对应的点且与y轴平行的直线围成的，从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn、…，则S1=（）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为，但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题。首先，通过若记y=f（x）=，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==；…；则f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（）=（）。我们把分子为1的分数叫理想分数，如，...，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；；...，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n是不少于2的观察一列单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第7个单项式为（）；第个单项式为（）。一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内有一列数：，……，则它的第7个数是（），第n个数是（）。如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn=（）。根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…，对于正整数n（n≥4），猜想：+2+…+（n-1）+n+（n-1）+…+2+1=（）。有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2011次输出的结果是（）。若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73=（）（直接写出计算结果），并比较A103（）A104（填“＞”或“＜”或“=”）。如下图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2011次变换后所得的A点坐标是（）。观察下列等式：（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性。二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A 如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，……如此继续，可以依次得到点D4，D5 对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是[]A.B.C.D.下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第n个数：，那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是[]A.第10个数B.第11个数C.第1 某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2．6]=2，[0．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在（）点。已知（n=1，2，3，…），记b1=2（1-a1），b2=2（1-a1）（1-a2），…，bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an），则通过计算推测出bn的表达式为bn=（）。（用含n的代数式表示）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2009次输出的结果为（）。如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1，相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为（）；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为（）（用含自然数如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1各边的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……如此下去，则得到四边形A2009B2 在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度。（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达将边长分别为，2，3，4…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4…，计算S2-S1，S3-S2，S4-S3…．若边长为n（n为正整数）的正方形面积记作Sn，根据你的计算结果，猜想Sn+1-Sn=（）。数学课堂上，徐老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。（1）先找规律，再填数：······则（）。如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）=（x+y，x-y）；且规定Pn（x，y）=P1（Pn-1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）=（3，-1），P2（1，2）=P1（P1（1 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，-1）、C（-1，-1）、D（-1，1），y轴上有一点P（0，2），作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，将1、、、按右侧方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是（）。如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=（）。观察下列算式：①1×3-22=3-4=-1②2×4-32=8-9=-1③3×5-42=15-16=-1④______________（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=（0°＜＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上。活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆如图①为Rt△AOB，∠AOB=90°，其中OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，……，求旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（）。在一列数a1，a2，a3…中，a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=，则a19=（）。将一列整式按某种规律排成x，-2x2，4x3，-8x4，16x5…则排在第六个位置的整式为（）。甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加课外活动，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行，假设某段时间内甲打的场次观察下面几组数，它们具有共同的特点：1，3，5，7，9，11，13，15，……；2，5，8，11，14，17，20，23，……；7，13，19，25，31，37，43，49，……；现在有上述特点的一组数，第一如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45。，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45。，下面是按一定规律排列的一列数：那么第n个数是（）。（1）计算：如图①，直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所观察下列各式：1×3=1+2×12×4=22+2×23×5=32+2×3...请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来：（）。已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2。（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，观察图中的规律，求出已知a1=，…，依据上述规律，则a99=（）。如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为（）；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为（）（用含自然数提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形人手：（1）当AP 将正整数按右方的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是（）。下面是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是[]A.110B.109C.108D.107

探索规律的试题400

将正整数按如下的规律排列下去，若用有序实数对（n，m）表示第n排、从左到右第m个数，如：（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是（）。△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2。（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，2，-3，……，根据这个规律，那么第2010个数是（）。直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有（）个点。填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是[]A．38B．52C．66D．74 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形观察下列数据：，，，，，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个数据是（）。有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为（）。在平面直角坐标系中，点A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），A4（4，16），…，用你发现的规律确定点A9的坐标为（）。如图，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要（）根小棒（用含n的代数式表示）。如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的已知a≠0，，则=（）（用含a的代数式表示）。将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是（）小明玩一种的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数（颗）23456……对应所得分数（分）26122030……当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数为（）颗。如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转4 观察：，…，则an=（）（n=1，2，3，…）。如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0，过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，[]A.2B.4C.6D.8 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：，按此方式，将二进制（1001）2换算观察下列单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是（）（n是正整数）。2010年广州亚运会吉祥物取名“乐羊羊”，图中各图是按照一定规律排列的羊的组图，图①有1只羊，图②有3只羊，…，则图⑩有（）只羊。用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得y=（）。古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，……，第n个三角形数记为an，计算a2-a1，a3-a2，a 已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算（）。如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A 平面内不过同一点的n条直线两两相交，它们的交点个数记作an，并且规定a1=0，那么：①a2=（）；②a3-a2=（）；③an-an-1=（）。（n≥2，用含n的代数式表示）。阅读下列材料：1×2=（1×2×3-0×1×2），2×3=（2×3×4-1×2×3），3×4=（3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20。读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d。例如，明文1，2，3，如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于（）。将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有（）个（1）计算：如图①，直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所观察下列计算：......从计算结果中找规律，利用规律性计算=（）。观察下面的变形规律：=1-；=-；=-；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=（）；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：。电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6，如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2，跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数（其中i=1，2，3，…，j=1，2，3，…，）例如：第5行第3列上的数a53=7。则（1）（a23-a22）+（a52-a53）=（）；（2）此数表中的四个数an 如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过观察下表，可以发现：第（）个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍。下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2009个梅花图案中，共有（）个“”图案。古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房，按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和，假设剩余房款年利率为0.4 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这在反比例函数的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、An、An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴已知n是正整数，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是反比例函数图象上的一列点，其中x1=1，x2=2，…，xn=n，…，记A1=x1y2，A2=x2y3，…，An=xnyn+1，…若A1=a（a是非零常在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：①f（m，n）=（m，-n），如f（2，1）=（2，-1）；②g（m，n）=（-m，-n），如g（2，1）=（-2，-1），按照以上变换有：f[g（3，4）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为。观察应用：（1）如图，在平面直角坐标勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值，如图所示是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2，跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…，则“17”在射线______上；“2007”在射线___已知a≠0，，则=（）（用含a的代数式表示）。已知a≠0，，则=（）（用含a的代数式表示）。已知：a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），则a2011等于A.xB.x+1C.D.如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交，把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4 如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12……如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（）。如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为3abc-12…[]A.3B.2C.0D.-1 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从5这点开始跳，则如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2011B2010B2011的观察下列数据：…，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是（）（用含n的式子表示）。下面是一个三角形数阵：根据该数阵的规律，第8行第2个数是（）。点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；……，依照一组按一定规律排列的式子：，…，（a≠0）则第n个式子是（）。（n为正整数）观察下列各式：，，，…，根据观察计算：=（）。（n为正整数）有一列数a1，a2，a3，a4，a5，…，an，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，a5=5×6+5，…，当an=2009时，n的值等于[]A.2010B.2009C.401D.334 有一列数，那么第7个数为（）。观察下列计算：，，，......从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：=（）。有一列数，那么第7个数为（）。观察数表，根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是（）。为了求1+2+22+23+……+22008的值，可令S=1+2+22+23+……+22008，则2S=2+22+23+……+22009，因此2S-S=22009-1，所以S=22009-1,仿照以上方法计算出1+5+52+53+……+52009的值是[]A.520 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°……按此规律所作的如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第n个数记为，若，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数。（1）分别求出的值；（2）计算的值。在1+11+111+……+111……111（最后一项2009个1）的和之中，数字1共出现的次数是[]A.224B.225C.1004D.1005 如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（）。有一组单项式：，……，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为（）。我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十若n为整数，且n≤x<n+1，则称n为x的整数部分，通过计算和的值，可以确定的整数部分是（）。下列是有规律排列的一列数：……其中从左至右第100个数是（）。计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的，猜测32009+1的个位数字是[]A.0B.2C.4D.8 一组按规律排列的多项式：，……，其中第10个式子是[]A．B．C．D．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第（）行第（）列。观察一列单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第7个单项式为（）；第个单项式为（）。如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数。如：2的差倒数是=1，-1的差倒数是=。已知a1=-，a2是al的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，则a2009=（）。观察下列方程及其解的特征：（1）的解为；（2）的解为；（3）的解为；……解答下列问题：（1）请猜想：方程的解______；（2）请猜想：关于x的方程______的解为；（3）下面以解方程为例，验证（1 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的在直角坐标系中，已知点A（3，2），作点A关于y轴的对称点为A1，作点A1关于原点的对称点为A2，作点A2关于x轴的对称点为A3，作点A3关于y轴的对称点为A4，…按此规律，则点A8的坐标如图，圆圈内分别标有：0，1，2，3，4，…，11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2 观察下列各式：……计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）=[]A.97×98×99B.98×99×100C.99×100×101D.100×101×102 在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为，一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以为对称中心的对称点，第2次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心的对称点P2，第将自然数按以下规律排列，则位于第六行第四十五列的数是（）。如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…。利用这一图形，能直观地如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…，则：（1）S1=（）；（2）通过计算可在△ABC中，BC=10，B1、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图③中B1，B2…B9；C1，C2…C9分别是AB、AC的10等分点，B1C1+B2C2+…+B9C 将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列，若第4行第2列的数为32，则①n=（）；②第i行第j列的数为（）（用i，j表示）。观察等式：①9-1=2×4，②25-1=4×6，③49-1=6×8…按照这种规律写出第n个等式：（）。定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数。如：2的差倒数是=1，-1的差倒数是=。已知a1=-，a2是al的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，则a2009=（）。