初中数学知识点:重心
◎ 重心的定义
重心定义:
物体的重心与物体的形状有关,规则图形的重心就是它的几何中心。
如:线段,平行四边形,三角形,正多边形等等。
其它图形重心:
注:下面的几何体都是均匀的,线段指细棒,平面图形指薄板。
三角形的重心就是三边中线的交点。线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心就是其两条对角线的交点,也是两对对边中点连线的交点。
平行六面体的重心就是其四条对角线的交点,也是六对对棱中点连线的交点,也是四对对面重心连线的交点。
圆的重心就是圆心,球的重心就是球心。
锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。
四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点,也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。
正多边形的重心是其对称轴的交点。
由物理方法,我们可以找出任意四边形的重心。
◎ 重心的知识扩展
物体的重心与物体的形状有关,规则图形的重心就是它的几何中心.如:线段,平行四边形,三角形,正多边形等等。
如线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点;正多边形的重心是其对称轴的交点。
由物理方法,我们可以找出任意四边形的重心。
◎ 重心的特性

三角形重心:
重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明。

三角形重心性质:

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则
3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。
7.在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP+AC/AQ=3。
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB2+BC2+CA2)为半径的圆周上。

◎ 重心的知识点拨

三角形“五心歌”
三角形有五颗心;重、垂、内、外和旁心,
五心性质很重要,认真掌握莫记混。

重 心
三条中线定相交,交点位置真奇巧;
交点命名为“重心”,重心性质要明了;
重心分割中线段,数段之比听分晓;
长短之比二比一,灵活运用掌握好。

垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交;
高线分割三角形,出现直角三对整;
直角三角形有十二,构成六对相似形;
四点共圆图中有,细心分析可找清。

内 心
三角对应三顶点,角角都有平分线;
三线相交定共点,叫做“内心”有根源;
点至三边均等距,可作三角形内切圆;
此圆圆心称“内心”如此定义理当然。

外 心
三角形有六元素,三个内角有三边;
作三边的中垂线,三线相交共一点;
此点定义为“外心”,用它可作外接圆;
“内心”“外心”莫记混,“内切”“外接”是关键。

◎ 重心的考试要求
暂无
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