比例性质是代数学中常用的分式性质,主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明,以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
合比性质:在一个比例等式中,第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比,等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。
数学表示:
已知a,b,c,d∈C,且有b≠0,d≠0,如果
,则有
。
证明:
分比性质:在一个比例等式中,第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比,等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
数学表示:已知a,b,c,d∈C,且有b≠0,d≠0,如果
,则有
。
证明:
合分比性质:在一个比例等式中,第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比,等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
数学表示:
已知a,b,c,d∈C,且有b≠0,d≠0,如果
,则有
。
证明:
令
,则
,
等比性质:在一个比例等式中,两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等。
数学表示:
已知a,b,c,d∈C,且有b≠0,d≠0,如果
,则有
。
证明:
令
,则
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度,因此也叫缩尺。用公式表示为:比例尺=图上距离/实地距离。
(1)数字式,用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米,可写成:1∶50,000,000或写成:1/50,000,000。
(2)线段式,在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
(3)文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米,如:图上1厘米相当于地面距离500千米,或五千万分之一。
比例线段:1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
2.在同一单位下,四条线段长度为a、b、c、d,其关系为a∶b=c∶d,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
3.一般的,如果三个数a,b,c满足比例式a∶b=b∶c,则b就叫做a,c的比例中项。