等比数列的定义及性质的试题列表
等比数列的定义及性质的试题100
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=1,S11=33.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(14)an,求证:{bn}是等比数列.数列{an}满足a1=1,a2=32,an+2=32an+1-12an(n∈N*)(1)记dn=an+1-an,求证:{dn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)bn=3n-2,求数列{anbn}的前n项和Sn.设数列{an}是等比数列,若a6=3,则a3a4a5a6a7a8a9=______.等比数列{an}中的前n项和为Sn,若S10S5=5,则S20S10=______.已知a,b,c成等比数列,则方程ax3+bx2+cx=0的根有______个.已知等比数列{an}中,a6•a7=1,a10•a11=16,则a8•a9等于______.三个数成等差数列,其比为3:4:5,又最小数加上1后,三个数成等比数列,那么原三个数是______.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,ca,ab,bc成等比数列,且a+b+c=15,则a=()A.-20B.-5C.20D.5已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2005和a2006是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2007+a2008的值是()A.18B.19C.20D.21等比数列{an}中,a2+a4=2,则a1a3+2a2a4+a3a5=______.已知{an}为等比数列,a1•a99=16,则a20•a80=()A.16B.-16C.4D.-4在等比数列{an}中,a1+a2=3,a3+a4=12,则a5+a6=()A.21B.42C.48D.96已知各项均为正数的等比数列{an},a1•a9=16,则a2•a5•a8的值()A.16B.32C.48D.64等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=10,a5+a6+a7+a8=5,则数列{an}的前16项和S16为()A.-50B.254C.754D.-254已知两个正数a、b的等差中项为4,则a、b的等比中项的最大值为()A.4B.2C.8D.16已知{an}是公比为q的等比数列,且a2,a4,a3成等差数列,则q=______.已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,n=1,2,….(1)求证:数列{1an-1}为等比数列;(2)记Sn=1a1+1a2+…1an,若Sn<100,求最大的正整数n.(3)是否存在互不相等的正整数m,s,在公差为3的等差数列{an}中,若a1,a3,a4成等比数列,则S6等于()A.27B.-18C.-27D.24数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,已知a3=6,S3=18,则公比q=()A.1B.-12C.1或-12D.1或12已知a-1,a+1,a+4三个数成等比数列,则公比q=.已知2,a,b,c,4成等比数列,则b的值为()A.22B.-22C.±22D.8若正项数列{an}是首项为2,公比为10的等比数列,则数列{lgan}是()A.公差为1的等差数列B.公差为lg2的等差数列C.公比为1的等比数列D.公比为lg2的等比数列已知数列{an}的前n项和Sn=3•(32)n-1-1(n∈N*),数列{bn}满足bn=an+1log32an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式,并说明{an}是否为等比数列;(2)求数列{1bn}的前n项和前Tn;(3)设等比数列{an}的公比q=12,前n项和为Sn,则S4a4=()A.14B.15C.158D.73已知{an}是等比数列,则下列数列中也一定是等比数列的是()A.{an+C}(其中C为常数)B.{1an}C.{anbn}(其中{bn}为常数数列)D.{2an}用类比推理的方法填表:等差数列{an}中等比数列{bn}中a3+a4=a2+a5b3•b4=b2•b5a1+a2+a3+a4+a5=5a3______等比数列的前2项和,前4项和,前6项的和分别为S,T,R,则()A.S2+T2=S(T+R)B.T2=SRC.(S+T)-R=T2D.S+T=R下列命题中正确的是()①若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),则m+n=s+t;②若Sn是等差数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列;③若Sn是等比数设数列{an}前n项和为Sn,已知a1=a(a≠4),an+1=2Sn+4n(n∈N*)(Ⅰ)设bn=Sn-4n,求证:数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)若an+1≥an(n∈N*),求实数a取值范围.已知等比数列{an}中,an>0,a1,a99为方程x2-10x+16=0的两根,则a20•a50•a80()A.32B.64C.256D.±64等差数列{an}的各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2•S2=16,{ban}是公比为4的等比数列(1)求an与bn(2)设Cn=1S1+1S2+1S2+…+1Sn,若对任意正整数n,数列{an}中,a1=1,an+1=anan+1(n∈N*).(1)求通项an;(2)令bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.数列{an}满足a1=2,a2=5,an+2=3an+1-2an,(Ⅰ)求证:数列{an+1-an}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an.在等比数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于()A.2nB.3nC.2n+1-1D.3n-1各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S2n=()A.27B.6C.4D.203等比数列{an}中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=______.已知等比数列{an}前n项和为Sn且S5=七,S少七=6,则a少6+a少7+a少少+a少九+a七七等于()A.12B.16C.32D.54已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+)(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.一个数加上20、50、100后得到的三数成等比数列,其公比为()A.53B.43C.1.5D.0.5等比数列{an}的a2•a6=4,则a4=()A.2B.-4C.4,-4D.2,-2已知正项数列{an}的前n和为Sn,且Sn是14与(an+1)2的等比中项.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若bn=an2n,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn;(3)在(2)的条件下,是否存在常数λ,已知数列{an}为等比数列,且a3•a7=2a5,设等差数列{bn}的前n项和为Sn,若b5=a5,则S9=______.已知数列{an}和{bn}满足a1=m,an+1=λan+n,bn=an-2n3+49.(1)当m=1时,求证:对于任意的实数λ,{an}一定不是等差数列;(2)当λ=-12时,试判断{bn}是否为等比数列.在公差不为0的等差数列an中,a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.(I)求an的通项公式;(II)设bn=2an(n∈N*),求数列bn的前n项和公式.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=35,且a2,a7,a22成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设数列{1Sn}的前n项和为Tn,求Tn.已知{an}是公差为2的等差数列,且a3+1是al+1与a7+1的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an-12n(n∈N*),求数列{b}的前n项和Tn.(理)数列{an},若对任意的k∈N*,满足a2k+1a2k-1=q1,a2k+2a2k=q2&(q1,q2是常数且不相等),则称数列{an}为“跳跃等比数列”,则下列关于“跳跃等比数列”的命题:(1)若数列{已知数列{an},{bn}中,对任何整数n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2(1)若数列{an}是首项和公差都有1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列;(2)若{bn}=2n,试若a,b,c成等差数列,a,b+1,c+2成等比数列,则公差d=()A.-1B.-2C.2D.1已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=aa-1(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=2Snan+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值;(3)在条件(2)下,设cn=2-(11+an已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=58,a1,a3,a7成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式;(II)若{bn}为等比数列,且b5•b6+b4•b7=a8,记Tn=log3b1+log3b2+…+lo设数列{an}的前n项和为Sn,且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3,…).(Ⅰ)证明数列{an}是等比数列并求通项an;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.首项为正数的等比数列{an},满足ak-3=8且akak-2=a26=1024.对满足at>128的任意正整数t,函数f(t)=k+tk-t的最小值是______.数列{an}的首项为1,前n项和是Sn,存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立.(1)设A=0,求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{an}是等差数列,若p<q,且1Sp+1Sq=1S11,求在等比数列{an}中,a1=12,a4=-4,则公比q=______;|a1|+|a2|+…+|an|=______.设等差数列{an}的公差d≠0,a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则K的值为______.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.(Ⅰ)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)求证:数列{bnn}为等比数列;并求数列{bn}的通项公式数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列.(1)求c的值;(2)求{an}的通项公式;(3)设数列{an-cn•cn}的前n项之和为Tn,求Tn.已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=1(2n+1)(2n+3).(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得Tn>1am对任意已知a1,a2,a3,a4,是非零实数,则“a1a4=a2a3”是“a1,a2,a3,a4,成等比数列”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+n,且bn=an-1anan+1.(1)求证:{an-1}为等比数列;(2)求数列{bn}的前n项和.已知数列{an}和{bn}满足a1=m,an+1=λan+n,bn=an-2n3+49,{bn}的前n项和为Tn.(Ⅰ)当m=1时,求证:对于任意的实数λ,{an}一定不是等差数列;(Ⅱ)当λ=-12时,试判断{bn}是否为等比数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,an+1=Sn+1(n∈N*),数列{bn}为等差数列,且b5=9,b7=13.(I)t为何值,数列{an}是等比数列?(II)在(I)的条件下,若cn=an•bn(n∈N*),设TN为数列{已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率e满足3,1e,49成等比数列,且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-3.过点(2,0)作直线l交椭圆于点A,B.(1)若AB的中点C在y=4x(x≠0)上,求直线设Sn为等比数列{an}的前n项和,a6=8a3,则S6S3=______.若三角形的三个内角成等差数列,对应三边成等比数列,则三角形的形状()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8S4=3,则S12S8=()A.2B.73C.83D.3在△ABC中,sinA,sinB,sinC依次成等比数列,则B的取值范围是______.等比数列{an}中,a3=2,a7=8则a5=()A.±4B.4C.6D.-4已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=1(2n+1)(2n+3).(1)若bn=an+1,并求数列{bn}的通项公式;(2)数列{cn}的前n项和Tn,求数列{(2n+3)Tn•bn}前n项和Qn.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6=______.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么它前15项的和等于______.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,若数列{an}中有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,则6q=______.等比数列{an}中,a3,a9是方程3x2-11x+9=0的两个根,则a6=______.已知等比数列{an}的公比q>1,42是a1和a4的一个等比中项,a2和a3的等差中项为6,若数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x交于点C.(1)求证:|MA|,|MC|、|MB|成等比数列;(2)设MA=αAC,MB=βBC,试问α+β是否为定值,若是,求出在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=34.(1)若BA•BC=32,求a+c的值;(2)求cosAsinA+cosCsinC的值.已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足:a1000+a1012=π,b1b14=-2,则tana1+a20111-b7b8=()A.1B.-1C.33D.3设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,(n∈N*)且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)若数列{bn}满足bn=an+2n,求证数列{bn}是等比数列.(3)求满足an>45×3n的最在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a3,a4成等比数列,则该等比数列的公比______.设fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N),其中c0,c1,c2,…,ck为非零常数,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,an+Sn=fk(n).(1)若k=0,求证:数列{an}是等比数三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,也可成等比数列,已知这三个数的和等于6,求此三个数.已知,a>b>c,若3是3a与13c的等比中项,且λ≤1a-b+1b-c恒成立,则λ的最大值是______.已知等比数列{an}的各均为正数,且a1+2a2=3,a42=4a3a7,则数列{an}的通项公式为______.已知数列{an}成等比数列,且an>0.(1)若a2-a1=8,a3=m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值;(2)若a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求若数列{an}(n∈N*),an>0)是等差数列,设bn=a1+a2+…+ann(n∈N*),则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质有:若数列{cn}(n∈N*,cn>0)是等比数列,设dn=______(n∈N*),则数列{dn}也已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=an2+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;(2)是否存在常数a>0且a≠1,已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+,…+cncn+1,求证,对设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bn,(n∈N*),b2=2b1.(I)若b3=3,求b1的值;(II)求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列;(III)设数列{Tn}满足:Tn+1=Tnbn+1(n∈N*),且T1=b1=-12,若存在已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,Sn-Sm=qmSn-m恒成立.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)若正整数i,j,k成公差为3的等差数列,Si,Sj,Sk按在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足bcosC+12c=a.(1)求角B;(2)若a,b,c成等比数列,判断△ABC的形状.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*.(1)若数列{an}是等比数列,求实数t的值;(2)设bn=nan,在(1)的条件下,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)设各项已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an=______.已知数列{an}中a1=1,点(an,an+1)在函数y=3x+2的图象上(n∈N*).(I)证明:数列{an+1}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和.已知数列{an}满足an=22n-1,则()A.数列{an}是公比为2的等比数列B.数列{an}是公比为4的等比数列C.数列{an}是公差为2的等差数列D.数列{an}是公差为4的等差数列已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的r,t∈N*,都有SrSt=(rt)2.(Ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论;(Ⅱ)若数列{bn}的第n项bn是数列{an}的第bn-1项已知数列{an}的前项n和为Sn,a1=1,Sn与-3Sn+1的等差中项是-32(n∈N*).(1)证明数列{Sn-32}为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若对任意正整数n,不等式k≤Sn恒成立,求实已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=2anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=(m+1)-man(m为常数,且m>0).(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=2a1,bn=f(bn-1)(n≥2已知一非零向量列{an}满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2)(1)证明:{|an|}是等比数列;(2)设θn=<an-1,an>(n≥2),bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn;(
等比数列的定义及性质的试题200
设同时满足条件:①bn+bn+22≥bn+1;②bn≤M(n∈N+,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=aa-1(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).(1)求{an}的已知数列{an}满足条件:a1=t,an+1=2an+1.(I)判断数列{an+1}是否为等比数列;(Ⅱ)若t=1,令cn=2nan•an+1,记Tn=c1+c2+c3+…+cn.证明:(i)cn=1an-1an+1;(ii)Tn<1.已知:等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)写出数列{an}的前n项和Sn的公式;(2)给出(1)中的公式的证明.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2011,且an+2an+1+an+2=0(n∈N*),则S2012=()A.2011B.2012C.1D.0已知等比数列{an},且an<0,a2a4+2a3a5+a4a6=36则a3+a5=______.数列{an}中,前n项和Sn=3n+1,(1)求a1;(2)求通项公式an;(3)该数列是等比数列吗?如不是,请说明理由;如是,请给出证明,并求出该等比数列的公比.在等比数列{an}中,若a2+a3=2,a12+a13=3,则a22+a23的值是()A.94B.49C.92D.29数列{an}、{bn}是等比数列,则数列{an+bn}是()A.等比数列B.等差数列C.既是等比数列,又是等差数列D.不能确定已知△ABC的周长为6,|BC|,|CA|,|AB|成等比数列,求(I)试求∠B的取值范围;(Ⅱ)求BA•BC的取值范围.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8•a10•a12等于()A.16B.32C.64D.256已知函数f(x)=kx+b(k≠0),f(4)=10,又f(1),f(2),f(6)成等比数列.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设an=2f(n)+2n,求数列{an}的前n项和Sn.等比数列{an}的前3项和为13,前6项和为65,求S12=______.计算log333-3n=______.等比数列{an}中,a1+a3=5,a2+a4=10,则a6+a8等于()A.80B.96C.160D.320在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2,bn=logan2,数列{bn}的前n项和为sn,则当s11+s22+s33+…+snn取最大值时n的值等取第一象限内的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线l:y=x(x>0)的关系为()A.点P1、P2都在l的上方B.点P1已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1.(I)求证:数列{an}是等比数列;(II)求出数列{an}的通项公式.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则S10S5等于()A.-3B.5C.-31D.33设数列{an}()A.若a2n=4n,n∈N*,则{an}为等比数列B.若an•an+2=a2n+1,n∈N*,则{an}为等比数列C.若am•an=2m+n,m,n∈N*,则{an}为等比数列D.若an•an+3=an+1•an+2,n∈N*,则{a已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上,则数列{an}()A.是等差数列不是等比数列B.是等比数列不是等差数列C.是常数列D.既不是等差数列也不已知曲线C:f(x)=3x2-1,C上的两点A,An的横坐标分别为2与an(n=1,2,3,…),a1=4,数列{xn}满足xn+1=t3[f(xn-1)+1]+1(t>0且t≠12,t≠1)、设区间Dn=[1,an](an>1),当x∈Dn时,已知等比数列{an},若a1=1,a5=4,则a3的值为______.设{an}是正项等比数列,令Sn=lga1+lga2+…+lgan,n∈N*,若存在互异的正整数m,n,使得Sm=Sn,则Sm+n=______.在两个各项均为正数的数列an、bn(n∈N*)中,已知an、bn2、an+1成等差数列,并且bn2、an+1、bn+12成等比数列.(Ⅰ)证明:数列bn是等差数列;(Ⅱ)若a1=2,a2=6,设cn=(an-n2)•qbn(q设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知13S3与14S4的等比中项为15S5,已知13S3与14S4的等差中项为1.(1)求等差数列{an}的通项;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设a≠1,n≥2,记bn=ana2n+an-2,Tn=b2+b3+…+bn.(i)证明:bn=-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n-在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,Sn表示其前n项和.(I)记Sn=A,S2n-Sn=B,S3n-S2n=C,证明A,B,C成等比数列;(II)若a1=a∈[12010,11949],S6S3=9,记数列{log2an}的前已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(n≥1,n∈N*).(1)求证:数列{Snn}是等比数列;(2)求an.已知数列{an}的首项a1=23,an+1=2anan+1,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明:数列{1an-1}是等比数列;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-n(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(2n+1)(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.若数列{an}是等比数列,则下列命题正确的个数是()①{an2},{a2n}是等比数列②{lgan}是等差数列③{1an},{|an|}是等比数列④{can},{an±k}(k≠0)是等比数列.A.4B.3C.2D.1已知项数为9的等比数列{an}中a5=1,则其所有奇数项和的取值范围是______.已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1)(Ⅰ)设bn=an-1(n=1,2,3…),求证:数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(Ⅲ)设cn=2nan•an+1,求证:数列{cn}的前n项和Sn<13.已知等比数列{an}的公比q=-13,则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3若等比数列{an}满足an•an+1=9n,则公比q=______.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P满足PA,PO,PB成等比数列,求点P的轨迹方程.在-1和2之间插入两个数,使这四个数成等比数列,则插入的两个数的乘积为______.已知△ABC的周长为6,角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列.(1)求角B及边b的最大值.(2)设△ABC的面积为s,求s+1BA•BC的最大值.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2*项,…按原来顺序组成一个新数列{bn},试证明数1980年我国人均收入约为250美元,到2000年人民生活达到了小康水平,人均收入已超过800美元,若不低于此增长率递增,则到2020年,我国的人均收入至少有______美元.等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,则下列条件中,使{an}一定为递减数列的条件是()A.|q|<1B.q<1,a1>0C.a1>0,0<q<1和a1<0,q>1D.q>1在等差数列{an},等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2≠1,a8=b3,(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q;(2)是否存在常数x,y,使得对一切正整数n,都有an=logxbn+y成立?若(示范高中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)求{an}的前n项和Sn.已知等比数列{an}中,公比q=12,a1+a3=10,则前5项和S5=______.正项等比数列{an}的公比q≠1,且a2,12a3,a1成等差数列,则a3+a4a4+a5的值为()A.5+12或5-12B.5+12C.5-12D.1-52如果数列{an}是一个以q为公比的等比数列,bn=-2an(n∈N*),那么数列{bn}是()A.以q为公比的等比数列B.以-q为公比的等比数列C.以2q为公比的等比数列D.以-2q为公比的等比数列已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列;(Ⅱ)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1).已知等比数列{an}中,a1=2,S2=6,那么S5的值为______.设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n.(1)求数列{an}的首项a1与递推关系式:an+1=f(an);(2)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、等比数列{an}中,若a3和a13是方程2x2-21x+8=0的两个根,则a8=______.数列bn+1=12bn+14,且b1=72,Tn为{bn}的前n项和.(1)求证:数列{bn-12}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)如果{bn}对任意n∈N*,不等式12k(12+n-2Tn)≥2n-7恒成立,求实数k的取数列{an}为等比数列,则下列结论中不正确的有()A.{an2}是等比数列B.{1an}是等比数列C.{lgan}是等差数列D.{lg|an|}是等差数列从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称为数列{an}的一个子数列,设数列{an}是一个首项为a1,公差为d(d≠0)的无穷等差数列.(1)若a1,a2,a5为公比为q已知实数a,b,c成等比数列,若ac=4,则b=______.若{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+a3a4+…+an-1an=______.在a、b、c、d四个实数中,已知a、b、c恰成等差数列,b、c、d恰成等比数列,且a、b、c的和与b、c、d的积均为27,求a、b、c、d这四个数.我们在下面的表格中填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的已知数列{ax}和{bx}满足:a=1,a1=2,a2>0,bx=a1aa+1(n∈N*).且{bx}是以a为公比的等比数列.(Ⅰ)证明:aa+2=a1a2;(Ⅱ)若a3n-1+2a2,证明数例{cx}是等比数例;(Ⅲ)求和:1a1+1a2+1a数列{an},已知a1=3,an+1=-13an,则an的通项公式为______.数列{an}与{bn}的前n项和分别是An和Bn,且bn=n•an,2An=Bn+n2n+1(n∈N).(1)求证:数列{an}是从第三项起的等比数列;(2)当数列{an}是从第一项起的等比数列时,用n的式子表示Bn;已知函数f(x)=x-4x+4(x≥4)的反函数为f-1(x),数列{an}满足:a1=1,an+1=f-1(an),(n∈N*),数列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1是首项为1,公比为13的等比数列.(Ⅰ)求证:数列{an}已知等比数列{an}各项均为正数,a1a2a3=5,a7a8a9=15,则a4a5a6=______.函数f(x)满足2f(x)-f(1x)=4x-2x+1,数列{an}和{bn}满足下列条件:a1=1,an+1=2an+f(n),bn=an+1-an,n∈N;(1)f(x)的解析式;(2)求数列bn的通项公式;(3)试比较2an与bn的大小,已知等差数列{an}的公差不为零,若S1,S2,S4成等比数列.(1)求S1,S2,S4的公比;(2)若S2=4,令bn=1anan+1,求{bn}的前n项和Sn.函数f(x)=.x-12-xx+3.图象的顶点是(b,c),且a,b,c,d成等比数列,ad=______.公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息在2,x,8,y四个数中,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求x和y.函数y=1-(x+2)2图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为公比的数是()A.32B.12C.33D.3等比数列{an},an>0,它的前k项和Sk=80,a1,a2,a3,…,ak中最大的一项是54,且前2k项的和S2k=6560.求:(1)数列的通项an=f(n);(2)limn→∞anSn.设数列{an}是公差为d的等差数列,a3+a5=2,S20=150,又bn=2an-2an+1(n∈N*)(1)求a1,d;(2)求证{bn}是等比数列,并求bn的通项公式;(3)设k为某自然数,且满足limn→∞(bkbk+1+b在1,2之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n+2个数成等比数列,则a1a2a3…an=______.在等比数列{an}中,首项a1<0,则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足()A.q>1B.0<q<1C.q<1D.q<0若首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列{an}满足limn→∞(a21a1+a2-qn)=32,则a1的取值范围是______.已知数列{an}的前n项和Sn=qn-1(q∈R,q≠0),则数列{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列或等比数列D.既非等差数列又非等比数列等差数列an不是常数列,a5=10,且a5,a7,a10是某一等比数列bn的第1,3,5项.(1)求数列an的第20项;(2)求数列bn的通项公式.如果a,b,c,d是公比为q的等比数列中的相邻四项,(1)求|acbd|的值;(2)根据公比q的取值,讨论方程组ax+cy=1bx+dy=-2的解的情况.已知等比数列{an}的公比q<0,前n项和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是______.若一个无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,且limn→∞Sn=12,则首项a1取值范围是______.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意的n∈N*,恒有Sn=2an-n,设bn=log2(an+1),(1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an},{bn}的通项公式an和bn;(3)设cn=2bnan•an+1,已知等比数列{an},首项a1=2,公比q=22(1)求证:数列{an2}为等比数列;(2)求limn→∞(a21+a22+…+a2n)的值.设f(n)是一次函数,f(8)=15且f(2),f(5),f(4)成等比数列,求limn→∞f(1)+f(2)+…f(n)n2的值.已知函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列{an}满足对于一切n∈N*有an>0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+32).数列{bn}满足bn=logana,设k,l∈N*,bk=11+3l,bl=11+3k.(1)求证:数列{an}为等已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9,前n项和为Sn,则满足|Sn-n-6|<1125的最小整数n是______.已知数列{an}满足:a1=14,a2=34,an+1=2an-an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足b1<0,3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求证:数{bn-an}为等比数列;(Ⅱ)求证:数列等比数列{an}的前n项之和为Sn,公比为q,若S3=16且a11-q=1289,则S6=()A.14B.18C.102D.144设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,______,T16T12成等比数列.在等比数列an,a3=12,S3=32,则首项a1=()A.14B.-1C.12或2D.-22等差数列{an}中,a1=2,公差d≠0,且a1、a3、a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列的公比为()A.2B.12C.14D.4已知公比q为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且5s2=4s4.(Ⅰ)求q的值.(Ⅱ)若bn=q+sn-1,(n≥2,n∈N*)且数列bn也为等比数列,求数列(2n-1)bn的前n项和Tn.x=ab(ab>0),是a,x,b成等比数列的______条件(填充分非必要,必要非充分,充要)已知数列{an}满足a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则a9+a10的值为______.把155分成三个正数的和,使这三个数构成等比数列,且第一项比第三项少120,求这三个数.已知数列{an}是首项、公比都为q(q>0且q≠1)的等比数列,bn=anlog4an(n∈N*).(1)当q=5时,求数列{bn}的前n项和Sn;(2)当q=1415时,若bn<bn+1,求n最小值.某数列既是等差数列,又是等比数列,则这个数列为()A.公差为零的等差数列B.公比为1的等比数列C.常数列D.这样的数列不存在已知各项均为正数的等比数列{an}满足an>an+1且a3+a9=18,a4•a8=32.求此数列中所有小于1的项的各项和S.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N+),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈已知数列{an},构造一个新数列a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.在等比数列{an}中,已知a1=98,an=13,q=23,则n为()A.2B.3C.4D.5以知{an}前项n和sn=2an-1(n∈N),(1)证明{an}是等比数列;(2)求{an}通项公式;(3)求{an}前n项的和.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+a(1)当a=1时,求{an}的通项公式(2)若数列{an}是等比数列,求a的值(3)在(2)的条件下,求a12+a22+a32+…+an2的和.
等比数列的定义及性质的试题300
已知-1,a1,a2,8成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,那么a1a2b2的值为()A.-5B.5C.-52D.52等比数列{an}中,a1=512,公比q=-12,用Mn表示它的前n项之积,即Mn=a1•a2•a3…an,则数列{Mn}中的最大项是()A.M11B.M10C.M9D.M8有三个数成等比数列,其和为21,若第三个数减去9,则它们成等差数列,这三个数分别为______.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)记bn=an+1-an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)求{an}的通项公式;(3)当q∈(-3,-a,b为正实数且a,b的等差中项为A;1a,1b的等差中项为1H;a,b的等比中项为G(G<0),则()A.G≤H≤AB.H≤G≤AC.G≤A≤HD.H≤A≤G已知等比数列{an}的各项都是正数,前n项和为Sn,且a3=4,S4=s2+12,求:(1)首项a1及公比q的值;(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=2,a2=b2=4.(I)求an、bn;(Ⅱ)对于∀n∈N*,试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结论.已知等差数列{an},a2=8,前9项和为153.(Ⅰ)求a5和an;(Ⅱ)若bn=2an,证明数列{bn}为等比数列;(Ⅲ)若从数列{an}中,依次取出第二项,第四项,第八项,…,第2n项,按原来的顺序设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范围是______.设2008a=3,2008b=6,2008c=12,则数列a,b,c()A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列又非等比数列设数列{an}的前n项和为Sn,关于数列{an}有下列四个命题:①若{an}既是等差数列又是等比数列,则Sn=na1;②若Sn=2+(-1)n,则{an}是等比数列;③若Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差等比数列{an}的前5项和是30,前10项和是90,则前15项和为______.等比数列{an}的各项均为正数,且a4a6=9,则log3a1+log3a2+…log3a9=______.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于()A.50B.70C.80D.90已知等比数列{an}的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是()A.数列{an}的各项均为正数B.数列{an}中必有小于2的项C.数列{an}的公比必是正数D.数列{an}中的首项和公比中必有已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1、a3、a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求数列{Sn•2nn}的前n项和Tn.在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,如果a,b,c成等比数列,B=60°,△ABC的面积为32,那么b等于()A.63B.2C.23D.2设a1=2,数列{1-2an}是公比为2的等比数列,则a6=______.等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列前17项之积为()A.216B.-216C.217D.-217已知数列{an}满足a1=a(a≠0,且a≠1),其前n项和Sn=a1-a(1-an)(1)求证:{an}为等比数列;(2)记bn=anlg|an|(n∈N*),Tn为数列{bn}的前n项和,那么:①当a=2时,求Tn;②当a=-73时,是已知数列{an}为等差数列,公差为d(d≠0),a1=1且a2,a5,a14依次成等比数列,则an=______;数列{an}的前n项和Sn=______.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=14,且2Sn=2Sn-1+2an-1+1(n≥2,n∈N*).数列{bn}满足b1=34,且3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列;(Ⅱ)求证:数列{bn-an}为等比已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n+1,n∈N*.(Ⅰ)若数列{an+pn+q}是等比数列,求实数p、q的值;(Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn,求an和Sn;(Ⅲ)试比较an与(n+2)2的大小.给定正数a,b,c,p,q,其中p≠q,若p,a,q成等比数列,p,b,c,q成等差数列,则关于x的一元二次方程bx2-2ax+c=0()A.有两个相等实根B.有两个相异实根C.有一个实根和一个虚已知各项均为正数的等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若am•an=2a1,则1m+9n的最小值为______.设数列{an}是等差数列,a5=6(1)当a3=3时,在数列{an}中找一项am,使a3,a5,am成等比数列,求m的值;(2)当a3=2时,若自然数nt(t=1,2,3,…),满足5<n1<n2<…<nt<…,且使得a3已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-qan1-q(n∈N*)其中q为非零常数,函数f(x)=12x2+2x-12,数列{bn}满足bn+1=f′(bn),(n∈N*),b1=f(1),设cn=112anbn,{bn}的前n项和为Tn,Bn设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列(如:在a1与a2之间插入1个数在数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2n+1.(Ⅰ)证明:数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0,则2a1+a22a3+a4=______.已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d的值为______.在等比数列{an}中,a1,a10是方程x2-x-6=0的两根,则a4•a7=()A.1B.-1C.6D.-6已知五个数-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,四个数-9,a1,a2,-3成等差数列,则b2(a2-a1)等于()A.6或-6B.6C.-6D.-6或-8一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为______.在等比数列{an}中,a3•a7=6,则a2•a4•a6•a8=______.已知三角形ABC中,A,B,C对边分别是a,b,c,若a,b,c,成等比数列,A=60°,则bsinBc等于()A.12B.34C.22D.32已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…).(Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3;(Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列;(Ⅲ)求Sn.已知i=(1,0),jn=(cos2nπ2,sinnπ2),Pn=(an,sinnπ2)(n∈N+),数列{an}满足:a1=1,a2=1,an+2=(i+jn)•Pn.(I)求证:数列{a2k-1}是等差数;数列{a2k}是等比数列;(其中k∈N*);等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a3a8=16,则log2a1+log2a2+…+log2a10的值为()A.15B.-15C.3D.-3在1和81之间插入三个实数a,b,c,使它们构成一个五项的等比数列,则b=______.三个正数成等差数列,它们的和为15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等比数列,求这个三个数.已知数列{an}是公差为d的等差数列,且d≠0,数列{bn}是公比为q的等比数列,且a1=1,a2=b1,a5=b2,a14=b3,则d=______,q=______.已知a、b、c为等比数列,b、m、a和b、n、c是两个等差数列,则am+cn=______.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.则c的值是______.由命题p:“函数y=12(ex-e-x)是奇函数”,与q:“数列a,a2,a3,…,an,…是等比数列”构成的复合命题中,下列判断正确的是()A.p∪q为假,p∩q为假B.p∪q为真,p∩q为真C.p∪q为真,p∩q已知数列{an},记A(n)=a1+a2+a3+…+an,B(n)=a2+a3+a4+…+an+1,C(n)=a3+a4+a5+…+an+2,(n=1,2,3,…),并且对于任意n∈N*,恒有an>0成立.(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列在正项等比数列{an}时,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8•a10•a12等于______.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.-2与-8的等比中项是()A.±4B.-4C.4D.-6已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和Sn=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn为数列{1an•an+1}的前n项和,求T2012的值.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3=5,则a1+2a5的最小值是______.已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.(1)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列;(2)设S3=32,S6=2116,bn=λan-n2,若数列{bn}是单调递减数列,求实数λ的设Sn为等比数列{an}的前n项和,且a2a5=-18,则S2S5=()A.-18B.-111C.15D.111在如图的表格中,每格填上一个数字之后,使每一横行各数组成等差数列,每一纵列各数组成等比数列,则a+b+c的值为______.120.5a1bc已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设cn=bnan,n∈N*(Ⅰ)证明:数列{cn}是等比数列,数列{lnan}是等差数列.(Ⅱ)设数列{lnan},{lnbn}的前n项和分别是Sn,Tn.若a1=2,已知数列{an}满足a1=76,Sn是{an}的前n项和,点(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=12x+13的图象上,数列{bn}中,b1=1,且bn+1bn=nn+1(n∈N*).(1)证明数列{an-23}是等比数列;(2)分别求数列{an}是等比数列,其中a3,a7是关x的方程x2-2xsinα-3sinα=0的两根,且(a3+a7)2=2a2a8+6,则锐角α的值为______.等差数列{an}中a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn为{an}的前n项和,令bn=anan+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求an和Sn;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一等比数列,该等比数列的公比q=______.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S4S8=13,那么S8S16的值为()A.310B.13C.14D.15等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{等差数列{an}的前n项和为Sn,且9a1,3a2,a3成等比数列.若a1=3,则S4=()A.7B.8C.12D.16已知点(x,y)是区域x+2y≤2nx≥0y≥0,(n∈N*)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.(Ⅰ)证明:数列{an-2}为等比数已知公比是3的等比数列{an}中,满足a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)的值是()A.15B.-15C.-5D.56+25与6-25的等比中项是()A.4B.±4C.6D.-6在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+1(n≥2),则数列{an}的通项公式为an=______.设{an}是一个公差为2的等差数列,a1,a2,a4成等比数列.(Ⅰ)求数列an的通项公式an;(Ⅱ)数列{bn}满足bn=n•2an,设{bn}的前n项和为Sn,求Sn.已知数列{an}满足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),(I)若bn=ann+1,试证明数列{bn}为等比数列;(II)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn.在数列{an}中,a1+a2+a3+…+an=n-an(n=1,2,3,…).(I)求a1,a2,a3的值;(II)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(III)设cn=bn•(n-n2)(n=1,2,3,…),如果对任意n∈N*,都设等比数列{an}的前n项和为Sn,巳知S10=∫03(1+2x)dx,S20=18,则S30=______.若有穷数列{an}满足条件a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),则称数列{an}为“对称数列”.例如,数列1,2,3,2,1与数列4,2,1,1,2,4都是“对称数列”.(在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2+11x+9=0的两根,则a6的值是______.在各项为正数的等比数列{an}中,若a5a6=81,则log3a1+1og3a2+…+log3a10=()A.5B.10C.20D.40在等比数列{an}中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则q等于()A.2B.-2C.3D.-3一个各项均正的等比数列,从第三项开始,每一项都等于它前面的相邻两项之和,则该数列的公比q的值为______.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1b2=______.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=13Sn(n∈N*).(1)求a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.(Ⅰ)求证:数列{an-13×2n}是等比数列;(Ⅱ)Sn是数列{an}的前n项的和.问是否存在常数λ,使得bn已知数列{an}的前n项和Sn=a[2-(12)n-1]-b[2-(n+1)(12)n-1](n=1,2,…),其中a、b是非零常数,则存在数列{xn}、{yn}使得()A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列B.下列命题中为真命题的是()A.若b2=ac,则a,b,c成等比数列B.∃x∈R,使得sinx+cosx=43成立C.若向量a,b满足a•b=0,则a=0或b=0D.若a<b,则1a>1b已知数列an,其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N*).(Ⅰ)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(Ⅱ)如果数列bn满足an=log2bn,请证明数列bn是等比数列,并求其前n项和;(Ⅲ)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn=14a2n+12an(n∈N*);(1)求an;(2)令bn=an,n为奇数bn2,n为偶数,cn=b2n+4(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn;(3)令bn=λqan+λ(λ、q为常数若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=an-1+an-22(n3,4,…).(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.已知{an},{bn}都是等比数列,那么()A.{an+bn},{an•bn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列,但{an•bn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列,但}{an•bn}一定是(文)已知等比数列{an}的前三项依次为a-2,a+2,a+8,则an=()A.8•(32)nB.8•(23)nC.8•(32)n-1D.8•(23)n-1下列命题错误的是()A.对于等比数列{an}而言,若m+n=p+q,则有am•an=ap•aqB.点(π8,0)为函数f(x)=tan(2x+π4)的一个对称中心C.若|a|=1,|b|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则b若a1>0,a1≠1,an+1=2an1+an(n=1,2,…)(1)求证:an+1≠an;(2)令a1=12,写出a2、a3、a4、a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an;(3)证明:存在不等于零的常数p,使{an+Pa若正项数列{an}满足1gan+1=1+1gan,且a2001+a2002+a2003+…a2010=2013,则a2011+a2012+a2013+…a2020的值为()A.2013•1010B.2013•1011C.2014•1010D.2014•1011已知数列{an},其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列;(Ⅲ)如果数列{bn}满足an=log2bn,请证明数列{bn}是等比数列设数列{an},{bn}满足:a1=4,a2=52,an+1=an+bn2,bn+1=2anbnan+bn.(1)用an表示an+1;并证明:∀n∈N+,an>2;(2)证明:{lnan+2an-2}是等比数列;(3)设Sn是数列{an}的前n项和在数列{an}中,a1=-14,3an-an-1=4n(n≥2,n∈N*).(I)求证:数列{an-2n+1}是等比数列;(II)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.已知曲线C:f(x)=x2,C上的点A0,An的横坐标分别为1和an(n∈N*),且a1=5,数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t>0且t≠12,t≠1),设区间Dn=[1,an](an>1),当x∈Dn时,曲线C上存在点P(文科)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2n-1(nϵN*)(1)设bn=an+2n(nϵN*),证明数列{bn}是等比数列;(2)设Cn=2n(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)(n∈N*),求Tn=c1+c2+…已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.(1)求证:数列{an-13×2n}是等比数列;(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求Sn;(3)问是否存在常数已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ在等比数列{an}中,若a1=1,a2=4,则公比q=______.将一个骰子连续投掷三次,它落地时向上的点数依次成等比数列的概率是()A.112B.115C.118D.127在等比数列{an}中,a1+a5=82,a2•a4=81,则a3=______.
等比数列的定义及性质的试题400
设a1,a2,a3成等比数列,其公比为2,则a2a1+a3的值为______.在等比数列an中,a5+a6=4,a15+a16=16,则a25+a26等于()A.4B.16C.64D.1设{an}是由正数组成的等比数列,且a3•a7=64,那么log2a1+log2a2+…+log2a9的值是()A.10B.27C.36D.20{an}是等比数列,以下哪一个是假命题()A.{an2}是等比数列B.{an+an+1}是等比数列C.{1an}是等比数列D.{an•an+1}是等比数列设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列,则双曲线的离心率为()A.52B.5+12C.2D.3设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N+).(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{nan}的前n项和为Tn,求Tn的表达式;(Ⅲ)对任意n∈N+,试比较Tn2与Sn的已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意的n∈N+,有Sn=32an-32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1log3an•log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.在等比数列{an}中,已知a3=8,a7=2,则a5的值为()A.±4B.-4C.4D.5已知等比数列{an}中,a1=1,a2=2,则数列{log2an}的前n项和为______.三个不同的数成等差数列,其和为6,如果将此三个数重新排列,它们又可以构成等比数列,求这个等差数列.已知数列{xn}满足x1=x2=1并且xn+1xn=λxnxn-1,(λ为非零参数,n=2,3,4,…).(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数λ的值;(2)设0<λ<1,常数k∈N*且k≥3,证明x1+kx1+x2+kx2+…+xn+各项均为正数的等比数列{bn}中,若b7•b8=9,则log3b1+log3b2++log3b14=()A.7B.9C.14D.18在等差数列中,a3=-12,a3,a7,a10成等比数列,则公差d=______.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a8=9,则log3a1+log3a10=______.等差数列{an}的公差d不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn(2)证明数列{2an}为等比数列;(3)求数列{1an•an+1}的前n项和Tn.已知等比数列{an},则下列一定是等比数列的是()A.{an+an+1}B.{an}C.{an+2}D.{|an|}已知数列{an}的前n项和Sn=5n+t(t是实数),下列结论正确的是()A.t为任意实数,{an}均是等比数列B.当且仅当t=-1时,{an}是等比数列C.当且仅当t=0时,{an}是等比数列D.当且仅当在数列{an}中,a1=1,an+1=anc-an+1(c为常数,n∈N*)且a1,a2,a5成公比不为1的等比数列.(1)求证:数列{1an}是等差数列(2)求c的值(3)设bn=an•an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,证设数{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列{bn}满足a1=b1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=bnan,求数列{cn}的前n项和T若数列{an}中,若an随n的增大而增大,则称{an}为递增数列.设数列{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是{an}为递增数列的______条件.已知数列{an}是等比数列,且a4•a5•a6•a7•a8•a9•a10=128,则a15•a2a10=______.已知等比数列{an}中,a5=4,则a3a7=()A.2B.8C.16D.18已知-1,a,x,b,-4成等比数列,则x=()A.±2B.±2C.-2D.-52若三个数a+log29,a+log23,a+log281成等比数列则其公比的值是______.等比数列{an}的前n项和是Sn,若8S6=9S3,则{an}的公比为______.设α,β是方程x2-2x+k2=0的两根,且α,α+β,β成等比数列,则k=()A.2B.4C.±4D.±2在如图的表格中,若每格内填上一个数后,每一横行的三个数成等差数列,每一纵列的三个数成等比数列,则表格中x的值为______.3-12-32x已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和Tn的最大值及相应的n值.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(13)n-c,正数数列{bn}的首项为c,且满足:bn+1=bn1+2bn(n∈N*).记数列{bnbn+1}前n项和为Tn.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)是否存在已知数列{an}满足a1=-1,an+1=(3n+3)an+4n+6n,数列{bn}满足bn=3n-1an+2(1)求证:数列{an+2n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.(2)求证:当n≥2时,bn+1+bn+2+…+b2n<45-12n+设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10:S5=1:2,则S15:S5=()A.3:4B.2:3C.1:2D.1:3在△ABC中,cos(A+C)=-35,且a,c的等比中项为35.(1)求△ABC的面积;(2)若a=7,求角C.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn-1+1,(n∈N,n≥2),①求数列{an}的通项公式;②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;③设已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=anan+1,是否存在m、k(k>m≥2,k,m∈N*),使得b1、bm、bk成等比数列.若存在,求出所有设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2,记bn=an+1-2an.(Ⅰ)求b1,并证明{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(Ⅰ)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且满足S2=4,S5=25,数列{bn}满足bn=1an-an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+在△ABC中,若a,b,c成等比数列,A=60°,则bsinBc=()A.32B.12C.3D.1已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式an=______.设等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6.(Ⅰ)若a2•a10>0,求d的值;(Ⅱ)若a3=2,且a3,a5,an1,an2,…,ant,…(5<n1<n2<…<nt<…)成等比数列,求nt;(Ⅲ)若a3,a5,an1,在等比数列{an}中,a1+a2=162,a3+a4=18,那么a4+a5=()A.6B.-6C.±2D.±6已知四个正数成等比数列,其积为9,中间两数之和为4,求这四个数.等比数列{an}中,若a3=3,a6=24,则a7的值为______.设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a1=20,且a2,a5,a7成等比数列,则S10=______.在等比数列{an}中,a1a3=36,a2+a4=60,Sn>400,求n的范围.正项等比数列{an}的首项a1=2-5,其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽一项后的几何平均数仍是25,则抽出的一项的项数是()A.6B.7C.9D.11已知各项均为正数的等比数列{an}前2项和为6,前6项的和为126,则前4项的和等于()A.64B.36C.30D.24在等比数列{an}中,a3+a5=18,a9+a11=144,则a5+a8=______.甲、乙两个工厂2004年元月份的产值相等,甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同,乙厂产值也逐月增加,且每月增加的百分率相同,已知2005年元月份两厂产值又相同,则2004年已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a2,a48是2x2-7x+6=0的两个根,则a1•a2•a25•a48•a49的值为()A.212B.93C.±93D.35已知数列{an}满足a1=12,an=an-11+an-1(n∈N*,n≥2).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=1an且cn=lgbn,判断数列{cn}是否为等比数列?并说明理由.已知yn=2logaxn(a>0且a≠1,n∈N*),已知y4=17,y7=11.(1)求证:数列{yn}是等差数列;(2)数列{yn}的通项公式;(3)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值为多少?已知数列{an},其前n项和为Sn,对任意n∈N*都有:Sn=man+1-m(m∈R,m≠0且m≠1).(1)求证:{an}是等比数列;(2)若S3,S7,S5,构成等差数列,求实数m的值;(3)求证:对任意大于1的实等比数列{an}的各项均为正数,且a1+6a2=1,a22=9a1•a5,.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设a1•a2•a3…an=31bn,求数列{bn}的前n项和.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5:S10=2:1,则S15:S5=______.已知数列{an}的前项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N,令bn=an+1-2an,且a1=1.(1)求证数列{bn}是等比数列;(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.28、已知数列{an}、{bn}满足:a1=1,a2=a(a为实数),且bn=an.an+1,其中n=1,2,3,…(1)求证:“若数列{an}是等比数列,则数列{bn}也是等比数列”是真命题;(2)写出(1)中命题的逆已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(12)n,(n∈N×).(1)求证:数列{a2n-1}与{a2n}(n∈N*)均为等比数列;(2)求数列{an}的前2n项和T2n;(3)若数列{an}的前2n项和为T2n,不等式3(1-ka2n在等比数列{an}中,a1+an=34,a2•an-1=64,且前n项和Sn=62,则项数n等于()A.4B.5C.6D.7设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=()A.12B.73C.83D.1已知等差数列{an}的公差d不为零,首项a1=2且前n项和为Sn.(Ⅰ)当S9=36时,在数列{an}中找一项am(m∈N),使得a3,a9,am成为等比数列,求m的值.(Ⅱ)当a3=6时,若自然数n1,n2,…,已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且S3=32,S6=2116,bn=λan-n2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若数列{bn}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是以10为首项,以-2为公差的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是以12为首项,以12为公比的等比数列(m≥3,m∈N*);并且对一切正整数n,都有an+2在等比数列{an}中,(a1an)2-a2a4an-1an-3=______.设p:(12)x,21-x,2x2成等比数列;q:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则条件p是条件q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既木充分也不必要条件公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,又a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}为等差数列,a1=2,且其前10项和为65,又正项数列{bn}满足bn=n+1an(n∈N*)(1)求数列{bn}的通项公式;(2)比较b1,b2,b3,b4的大小;(3)求数列{bn}的最大项;(4)令已知等比数列{an}:a1=3,且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项是()A.3981B.3781C.39D.33数列{an}中,a1=1,an+1=2an-n2+3n,(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)试求λ、μ的值,使得数列{an+λn2+μn}为等比数列;(3)设数列{bn}满足:bn=1an+n-2n-1,Sn为数列{bn}的前n项和.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则a5的值为______.正项等比数列{an}中,若a5•a7=16,则a6=()A.16B.8C.4D.2等比数列{an}中,Sn是其前n项和,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20=______.等差数列{an}的公差为-2,且a1,a3,a4成等比数列,则a20=______.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列{an}的通项an;(2)令bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列;(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.在公比为2的等比数列{an}中,a4=a22,则a1=______.设正整数数列a1、a2、a3、a4是等比数列,公比q大于1且不是整数,当a4取最小值时,求此四个数.给出两个命题:p:a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac;q:偶函数的图象一定关于y轴对称,则假命题是()A.p且qB.p或qC.¬p且qD.¬p或q直角三角形三边成等比数列,公比为q,则q2的值为()A.2B.5-12C.5+12D.5±12已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a7=4a42,a2=2,则a1=()A.2B.1C.2D.22已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,n∈N*,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式an等比数列an的公比为q,前项和为Sn,已知a3=3,S3=9,则q=______.已知函数f(x)=3x3x+1(x∈R),正项等比数列{an}满足a50=1,则f(lna1)+f(lna2)+…+f(lna99)=()A.99B.101C.992D.1012已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,数列{bn}满足b1=1,b3+b7=18.且bn+1+bn-1=2bn(n≥2).(I)数列{an}和{bn}的通项公式.(II)若bn=an•cn,求数列{cn}的前n项和Tn.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或是等差数列,或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列已知{an}是等比数列,{an}中有连续三项的积为1,则该三项的和的取值范围是______.已知五个实数-16,a1,a2,a3,-1成等比数列,那么a1+a2+a3等于()A.-6或-14B.6或14C.-6或14D.6或-14已知函数f(x)=log2x,等比数列{an}的公比为2,若f(a2•a4…a10)=25,则a1=______;2f(a1+a2+a3+…•+a10)=______.数列{an}的首项为a1,通项为an,前n项和为Sn,则下列说法中:①若Sn=n2+n,则{an}为等差数列;②若Sn=2n-1,则{an}为等比数列;③若2an=an+1+an-1(n≥2),则{an}为等差数列;④若a在数列{an}中,其前n项和Sn与an满足关系式:(t-1)Sn+(2t+1)an=t(t>0,n=1,2,3,…).(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)设数列{an}的公比为f(t),已知数列{bn},b1=1,bn+1=3f(已知等比数列{an}中,a6-2a3=2,a5-2a2=1,则等比数列{an}的公比是()A.-1B.2C.3D.4在等比数列{an}中,已知a1+a2=4,a3+a4=12,那么a5+a6=______.公差不为零的等差数列中,a3=15,a2,a5,a14,成等比数列,则数列{an}的前n项和Sn=______.将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…每一组的第1个数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1若数列{an}中,a1=1,点(an,an+1+1)(n∈N*)在函数f(x)=2x+1的图象上,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则S5a2=()A.2B.4C.152D.312设数列{an}的前n项积为Tn,已知对∀n,m∈N+,当n>m时,总有TnTm=Tn-m•q(n-m)m(q>0是常数).(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设正整数k,m,n(k<m<n)成等差数列,试比较Tn•Tk和设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求证:数列{an+2n}是等比数列(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+…已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2n.(Ⅰ)证明:数列{an-2}为等比数列,并求出an;(Ⅱ)设bn=(2-n)(an-2),求{bn}的最大项.设数列{an}、{bn}满足:a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}是等差数列,{bn-2}是等比数列,其中n∈N*.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn.设数列{an}为等比数列,a1=C2m+33mAm-21,公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)确定m的值(2)用n,x表示通项an与前n项和Sn;(3)记An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn①