数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题列表
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题100
数列{an}的通项公式为an=1(n+1)2(n∈N*),设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;(2)求f(n)的表达式;(3)数列{bn}满足b1=1,bn+1=2f(n)-1,它的设数列1,(1+2),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为Sn,则Sn等于()A.2nB.2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2若数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N*),则1a1a2+1a2a3+…+1anan+1等于()A.n2n+1B.4n2n+1C.n2n-1D.1n+2设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=(-1)n+1logann+12,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:当n∈N*且n≥2时,T2n<22.已知数列{an}满足:a1=3,且an+1=2an-1(n∈N*).(1)求证数列{an-1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式an.(2)令bn=1an+1-an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.在数列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an+1-an=2an+1+an-1,n∈N*.(1)记bn=(an-12)2,n∈N*,证明:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设cn=(2an-1)2,求1c1c2+1c2c3已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=2kn•a已知数列{an}是各项均为为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足S2n-1=12a2n,n∈N*.(I)求an;(Ⅱ)数列{bn}满足bn=2n-1,n为奇数12an-1,n为偶数,Tn为数列{bn}的前n项和,求T2n2009年4月,甲型H1N1流感首现于墨西哥,并迅速蔓延至全球很多国家,科学家经过深入研究,发现了一种细菌K在杀死甲型H1N1病毒的同时能够自身复制,已知1个细菌K可以杀死一个甲已知公差为d的等差数列an,0<a1<π2,0<d<π2,其前n项和为Sn,若sin(a1+a3)=sina2,cos(a3-a1)=cosa2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=Sn(n+1)•2n-1,求数列bn的前n项和Tn.已知等差数列{ann}满足a1=1,a3=6,若对任意的n∈N*,数列{bn}满足bn,2an+1,bn+1依次成等比数列,且b1=4.(1)求an,bn(2)设Sn=(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn,n∈N*,证明:对任意已知数列{an}的前n项和为Sn=n(n+1)2,数列{bn}满足条件:b1=1,bn-bn-1=2n-1(n≥2).(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.等差数列{an}中,a3=8,a7=20,若数列{1anan+1}的前n项和为425,则n的值为()A.14B.15C.16D.18已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1,求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)令cn=anbn4(n∈N*在数列{an}中,已知a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N•.(1)设bn=an-n,求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.在数列{an}中,Sn为其前n项之和,且Sn=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于:A.(2n-1)2B.13(2n-1)2C.4n-1D.13(4n-1)已知数列{an}中,对任意n∈N*都有an+2=an-1-an,若该数列前63项和为4000,前125项和为1000,则该数列前2011项和为______.数列{an},an=1n+n+1(n∈N+),且数列{an}的前n项和为sn=9,则n的值为()A.98B.99C.100D.101数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=nan+1-an,设数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,试判断Tn与2的关系,并说明理由.已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an(n≥3).(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;(2)设cn=1+1b2n+1b2n+1,数列{cn}的前已知数列{an}中,a1=1,a2=3,其前n项和为Sn,且当n≥2时,an+1Sn-1-anSn=0.(Ⅰ)求证:数列{Sn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)令bn=9an(an+3)(an+1+3),记数列{bn}的设曲线Cn:f(x)=xn+1(n∈N*)在点P(-12,f(-12))处的切线与y轴交于点Qn(0,yn).(Ⅰ)求数列{yn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{yn}的前n项和为Sn,猜测Sn的最大值并证明你的结论.数列{an}中a1=3,已知点(an,an+1)在直线y=x+2上,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an•3n,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等比数列{an}的公比大于1,Sn是数列{an}的前n项和,S3=14,且a1+8,3a2,a3+6依次成等差数列,数列{bn}满足:b1=1,bn=an(1a1+1a2+…+1an-1)(n≥2)(1)求数列{an}、{bn}的通在数列{an}中,a1=3,an=2an-1+n-2(n≥2,且n∈N*)(1)求a2,a3的值;(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;(3)求数列{an}的前n项和Sn.已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,如:1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,…则该数列前2009项的和S2009=_已知a为实数,数列{an}满足a1=a,当n≥2时an=an-1-3,(an-1>3)4-an-1,(an-1≤3),(Ⅰ)当a=100时,求数列{an}的前100项的和S100;(Ⅱ)证明:对于数列{an},一定存在k∈N*,使0<ak≤已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4•a2n-4=102n,则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4,…,2n-1lgan,…的前n项和等于______.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=12an+1(n∈N*).(1)求a2,a3.(2)求数列{an}的通项an;(3)求数列{nan}的前n项和Tn.在数列{an}中,a1=2,an+1=1-an(n∈N*),设Sn为数列{an}的前n项和,则S2007-2S2008+S2009=______.对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两点,则数列{OAn•OBn2(n+1)}的前n项和公式是______.已知向量OP=(x,y),OQ=(y,2),曲线C上的点满足:OP•OQ=2x.点M(xk,xk+1)在曲线C上,且xk≠0,x1=1,数列{an}满足:ak=1xk,(k,n∈N+).(1)求数列{an}通项公式;(2)若数列{bn}满已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{1f(n)}的前n项和为Sn,则S2010的值为()A.20112012B.20102011C.20092010D.20082009定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,且an+1=2an2+2an,其中n为正整数.(1)设bn=2an+1,证明:数列{bn}是“平方递推数列”,且数已知{an}是首项为19,公差为-4的等差数列,Sn为{an}的前n项和.(Ⅰ)求通项an及Sn;(Ⅱ)设{bn-an}是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a4=6,S4=10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an•2n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.对于一个有限数列P={P1,P2,…,Pn}P的“蔡查罗和”定义为S1+S2+…+Snn,其中Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n).若一个99项的数列{P1,P2,…,P99}的“蔡查罗和”为1000,则100项的数列{1,P1知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.(Ⅰ)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)设bn=2an+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列O、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求证:数列{1bn}为等差数列;(Ⅱ)设Tn=S2n-Sn,求证:当S=12+14+16+…+120时,Tn+1>Tn;(Ⅲ)求证已知等差数列{an}(n∈N+)中,an+1>an,a2a9=232,a4+a7=37(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若将数列{an}的项重新组合,得到新数列{bn},具体方法如下:b1=a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(1+λ)-λan,其中λ为常数,且λ≠-1,0,n∈N+(1)证明:数列{an}是等比数列.(2)设数列{an}的公比q=f(λ),数列{bn}满足b1=12,bn=f(bn-1)(n∈N+,n≥已知首项为1的数列{an}满足:对任意正整数n,都有:a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c,其中c是常数.(Ⅰ)求实数c的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设数列已知一非零的向量列an满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).(1)计算|a1|,|a2|,|a3|;证明:数列{|an|}是等比数列;(2)设θn(n≥2)是an-1,an的夹角的弧已知数列an满足a1=14,an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2,n∈N)(1)求数列an的通项公式an;(2)设bn=1a2n,求数列bn的前n项和Sn;(3)设cn=ansin(2n-1)π2,数列cn的前n项和为Tn.求证:对任各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p(p∈R)(1)求常数p的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记bn=4Snn+3•2n,求数列{bn}的已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(I)求数列{an}的通项公式an;(II)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{bn}的通项公式数列{an}满足a1=a2=1,an+an+1+an+2=cos2nπ3(n∈N*),若数列{an}的前n项和为Sn,则S2013的值为()A.2013B.671C.-671D.-6712已知函数{an}满足:a1=2t,t2-2tan-1+an-1an=0,n=2,3,4,…(其中t为常数且t≠0).(I)求证:数列{1an-t}为等差数列;(II)求数列{an}的通项公式;(III)设bn=n•2nan,求数列{bn}的在数列{an}中,已知an≥1,a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)(I)求数列{an}的通项公式;(II)令cn=(2an-1)2,Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn+1,若Sn<k恒成立,求k的取值范围.已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(I)证明:数列{an-12n}为等差数列;(II)求数列{an-1}的前n项和Sn.定义:我们把满足an+an-1=k(n≥2,k是常数)的数列叫做等和数列,常数k叫做数列的公和.若等和数列{an}的首项为1,公和为3,则该数列前2010项的和S2010=______.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于()A.(3n-1)2B.12(9n-1)C.9n-1D.14(3n-1)已知{an}为递增的等比数列,且{a1,a3,a5}⊂{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.(I)求数列{an}的通项公式;(II)是否存在等差数列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2对已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为0的等差数列,点(an+1,S2n-1)在函数f(x)的图象上;数列{bn}满足b1=2,bn≠1,且(bn-bn+1)•g(bn)=f(bn)(n∈N*).(I)求在数列{an}与{bn}中,数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn满足3Tn=nbn+1,且b1=1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)设cn=bn(设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*).(1)证明数列{an}是等差数列,并求其通项公式;(2)证明:对任意m、k、p∈N*,m+p=2k,都有1Sm+1Sp≥2Sk;(3)对设f(x)是一次函数,f(8)=15,且f(2)、f(5)、f(14)成等比数列,令Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),n∈N*,则Sn=______.已知数列An:a1,a2,…,an,满足a1=an=0,且当2≤k≤n(k∈N*)时,(ak-ak-1)2=1.令S(An)=a1+a2+…+an.(Ⅰ)写出S(A5)的所有可能取值;(Ⅱ)求S(An)的最大值.已知等差数列{an}的前n项和为An,且满足a1+a5=6,A9=63;数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=2bn-1(n∈N*).(I)求数列{an},{bn}的通项公式ab,bn;(II)设cn=an•bn求数列{cn}的前设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1•an=0(n∈N*).(1)求它的通项公式;(2)求数列{ann+1}的前n和Sn.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=a4+6,且a1,a4,a13成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{1Sn}的前n项和公式.已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是各项均不为0的等差数列,点(an+1,S2n-1)在函数f(x)的图象上;数列{bn}满足bn=(34)n-1.(I)求an;(II)若数列{cn}满足cn=an4n-1•bn,证明:c1+已知集合A={a1,a2…an}(0≤a1<a2<…<an,n∈N*,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj与aj-ai至少一个属于A,(1)分别判断集合M={0,2,4}与N=(1,2,3)是否具有性质P,并说已知函数f(x)=lg(1+1x),点An(n,0)(n∈N*),过点An作直线x=n交f(x)的图象于点Bn,设O为坐标原点.记θn=∠Bn+1AnAn+1(n∈N*),化简求和式Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=______.已知等差数列{an}中,a2+a4=10,a5=9,数列{bn}中,b1=a1,bn+1=bn+an.(I)求数列{an}的通项公式,写出它的前n项和Sn;(II)求数列{bn}的通项公式;(III)若cn=2an•an+1,求数列已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn;(2)是否存在实数已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{1f(n)}的前n项和为Sn,则S2012的值为()A.20122011B.20102011C.20132012D.20122013设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对于任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)-5;②f(2)=4.则f(1)=______;若an=f(2n)(n∈N*),数列{an}的前项和为Sn,则Sn的最大值是______.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+an=n-1n(n+1),n=1,2,…,则通项an=______.已知等比数列{an},公比为q(0<q<1),a2+a5=94,a3•a4=12.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)当bn=1-(-1)n2an,求证:b1+b2+b3+…+b2n-1<163.已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=32x2+12x上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116,b5=132.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)已知数列{an}满足an•an+1•an+2•an+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2013=______.已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=an•bn,设数列{cn}的前已知数列{an}满足:a1=2t,t2-2tan-1+an-1an=0,n=2,3,4,…,(其中t为常数且t≠0).(1)求证:数列{1an-t}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设bn=an(n+1)2,求数列{bn}数列{an}中a1=1,a2=2且前n项和Sn=2an+1(n≥2,n∈N*),则an=______.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数数列{an}前n项和为Sn,已知a1=15,且对任意正整数m,n,都有am+n=am•an,若Sn<a恒成立,则实数a的最小值为()A.14B.34C.43D.4已知等差数列{an}的公差大于零,且a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根;各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn,且满足b3=a3,S3=13.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)若将等差数列{an}的所有项依次排列,并如下分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),…,其中第1组有1项,第2组有2项,第3组有4项,…,第n组有2n-1项,记Tn为第n组中各项的和,已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b数列{an}中,an=32,sn=63,(1)若数列{an}为公差为11的等差数列,求a1;(2)若数列{an}为以a1=1为首项的等比数列,求数列{am2}的前m项和sm′.已知数列{an}中,a1=1,an+1(2+an)=2an(n∈N*),(Ⅰ)求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记Tn=a1a2+a2a3+…+an-1an(n≥2),试判断Tn与2的大小,并说明理由.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设bn=an+1(an+1-3)•Sn+1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+12a2+13a3+…+1n-1an-1(n≥2,n∈N*),若an=2011,则n=______.设f(n)=n2,(n为奇数)-n2,(n为偶数)(n∈N+),若an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+…+ak=______(k∈N+)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.①求证:数列{lgan}是等差数列;②设bn=3(lgan)(lgan+1)求数列{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}中,a1+a2+a3=27,a6+a8+a10=63(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=3an,求数列{bn}的前n项的和Sn.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12,,那么数列{an2n+1}的前n项和等于()A.2-n+22nB.1+n+12nC.1+n2nD.n(n-1)2n+1设a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12=(x2-2x-2)6,其中ai(i=0,1,2…12)为常数,则2a2+6a3+12a4+20a5+…+132a12=()A.492B.482C.452D.472已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3•a4=117,a2+a5=22.(1)求数列an的通项公式an;(2)若数列bn是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c;(3)若(2)中的bn的前n项已知数列{an}满足a1=-1,an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2(an+3).(1)求{bn}的通项公式;(2)若数列{2n+1bn}的前n项的和为sn,试比较sn与8n2-4n的大小.已知Sn是数列{an}的前n项和,且有Sn=n2+1,则数列{an}的通项an=______.已知数列log2(an-1)(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a2=5,则1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an=______.设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+…+a100的值是______.一个数列{an}:当n为奇数时,an=5n+1;当n为偶数时,an=2n2.求这个数列的前2m项的和(m是正整数).已知α为锐角,且tanα=2-1,函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若∠A=2α,∠C=π3,BC=2,求△ABC的面积(3)求数设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式tSn-(t+1)Sn-1=t(t>0,n∈N*,n≥2).(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f(1bn-1)(n已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2-(2n+1)an(n≥1).(1)求证:数列{ann}是等比数列;(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=1T1+1T2+1T3+…+1Tn.试比较An与2nan的大小.已知数列{an}中,a1=13,an•an-1=an-1-an(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=1an(n∈N*).(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{1nbn}的前n项和为Tn,证明Tn<34-1n+2.设Sn是等差数列{an}前n项的和.已知13S3与14S4的等比中项为15S5,13S3与14S4的等差中项为1.求等差数列{an}的通项an.
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题200
已知各项均为正数的数列{an}满足2an+12+3an+1•an-2an2=0,n为正整数,且a3+132是a2,a4的等差中项,(1)求数列{an}通项公式;(2)若Cn=-logan12an•Tn=C1+C2+…+Cn求使Tn+n•2n+1已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=log2an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f(x)=axg(x),f′(x)g(x)<f(x)g′(x),f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52,在有穷数列{f(n)g(n)},(n=1,2,…,10)中任取前k项相加,则前k项已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则此数列奇数项的前n项和为()A.2n+1-13B.2n+1-23C.22n-13D.22n-23已知数列{an}的前项和Sn=n3,则a5+a6的值为()A.91B.152C.218D.279已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d≠0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项.(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;(II)设数列{cn}对任意的n∈设等差数列{an}的公差为d(d>0),且满足:a2•a5=55,a4+a6=22.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}的前n和为an,数列{bn}和数列{cn}满足等式:bn=cn2n,求数列{cn}的前n项和已知数列{an}的前n项和Sn,对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=2x+2-4的图象上.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an•log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足:a1=12,an=(1-1n+1)an+1+n3n(1)设bn=ann,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和.数列1,11+2,11+2+3,11+2+3+4,…,11+2+3+…n,…的前n项和为()A.2n2n+1B.2nn+1C.n+2n+1D.3n2n+1已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与13logab已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…,(1)求a3;(2)证明an=an-2+2,n=3,4,5,…;(3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn.已知数列{an}(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列.(1)求和:a1C20-a2C21+a3C22,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明试问数列lg100,lg(100sinπ4),lg(100sin2π4),…,lg(100sinn-1π4)前多少项的和的值最大?并求这最大值.(lg2=0.301)等比数列{an}中,a1=2,且limn→∞(a1+a3+a5+…+a2n-1)=83,则公比q=______.若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1.n,则S50=______.已知数列{an}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an(n≥1),并且S1,S2,Sn,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且|p|<1),(1)证明:a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起数列1,2+12,3+12+14,…,n+12+14+…+12n-1的前n项和为()A.n+1-(12)n-1B.12n2+32n+12n-1-3C.12n2+32n+12n-1-2D.n+12n-1-1已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列;(Ⅱ)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=13(an-1)(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ)求证数列{an}是等比数列.设P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记Sn=a1已知数列{an}满足:a1=λ,an+1=23an+n-2,其中λ∈R是常数,n∈N*.(1)若λ=-3,求a2、a3;(2)对∀λ∈R,求数列{an}的前n项和Sn;(3)若λ+12>0,讨论{Sn}的最小项.limn→∞(1n+1-2n+1+3n+1-…+2n-1n+1-2nn+1)的值为()A.-1B.0C.12D.1已知Sn是非零数列{an}的前n项和,且Sn=2an-1,则S2011等于()A.1-22010B.22011-1C.22010-1D.1-22011定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5设数列{an}满足:a1=,1,a2=53,an+2=53an+1+13an,(n=1,2,…)(1)令bn=an+1-an,(n=1,2…)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Sn.数列{an}中,a1=15,an+an+1=65n+1,n∈N*,则limn→∞(a1+a2+…+an)等于()A.25B.27C.14D.425已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0).(Ⅰ)当a=b时,求数列{un}的前n项和Sn;(Ⅱ)求limn→∞unun-1.已知,数列{an}有a1=a,a2=2,对任意的正整数n,Sn=a1+a2+…+an,并有Sn满足Sn=n(an-a1)2.(1)求a的值;(2)求证数列{an}是等差数列;(3)对于数列{bn},假如存在一个常数b使得对在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S10=______.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,…).(Ⅰ)求q的取值范围;(Ⅱ)设bn=an+2-32an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.已知数列{an}的前n项和Sn=50n-n2(n∈N*)(1)求证{an}是等差数列.(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn(3)求limn→∞(SnTn)的值.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=12,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.(文)已知等比数列{xn}的公比是不为1的正数,数列{yn}满足yn•logxna=2(a>0,a≠1),当y4=15,y7=9时,数列{yn}的前k项和最大,则k的值为()A.9B.10C.11D.12(yn=23-2n)已知数列{xn}满足x2=x12,xn=12(xn-1+xn-2),n=3,4,….若limn→∞xn=2,则x1=()A.32B.3C.4D.5数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1).记bn=1an-12(n≥1).(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*,n>1),a1=2(I)求证:数列{an}的通项公式为an=n(n+1)(II)求数列{1an}的前n项和Tn;(III)是否存在无限集合M,使得当n∈M时,总有|Tn-1|<11已知在正项数列{an}中,Sn表示前n项和且2Sn=an+1,求an.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列.(1)求数列{an}的通项an(2)bn=20-an,Tn前n项和,求Tn的最值.数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2,(1)求常数p的值;(2)证明:数列{an}是等差数列.已知单调递增的等比数列{an}中,a2+a3+a4=28,且a3+2是a2、a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2an,求数列{1bnbn+1}的前n项和Tn.已知函数f(x)=[x[x]](n<x<n+1),其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.定义an是函数f(x)的值域中的元素个数,数列{an}的前n项和为Sn,则满足anSn设f(x)=13x+3,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得:f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为______.已知数列{an}的通项an=(2n+1)•2n-1,前n项和为Sn,则Sn=______.数列112+2,122+4,132+6,142+8,…前n项的和等于______.已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2(n≥2,t>0),a1=1,其中Sn是数列{an}的前n项和.(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn,若Tn<2对所有的n∈N*都成立.求证:0<t≤1.由y=f(x)确定数列{an}:an=f(n).若y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn}:bn=f-1(n),则称{bn}是{an}的“反数列”.(1)若f(x)=2x确定的数列{an}的反数列为{bn},求bn.(2)对(1)中已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=1Sn,(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求证:b1+b2+…+bn<2.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a•b)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(12)=-12,令bn=2n已知数列{an}的各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项和,且4Sn=an2+2an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(Ⅱ)设Tn=a1b1+a2b2+已知:函数f(x)=xax+b(a,b∈R,ab≠0),f(2)=23,f(x)=x有唯一的根.(1)求a,b的值;(2)数列{an}对n≥2,n∈N总有an=f(an-1),a1=1;求出数列{an}的通项公式.(3)是否存在这样的数(文)设数列{an}的前n项和Sn=nn+1,n=1,2,3…(1)求数列{an}的通项公式an.(2)求数列{1an}的前n项和Tn.已知函数f(n)=-n2,n=2k(k∈z)n2,n=2k-1(k∈z),an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+…+a100=()A.0B.-100C.100D.10200已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],…当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的值域为[an,bn],其中a,b为常数,a1=0,b已知数列{2n-1•an}的前n项和Sn=9-6n(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=n(3-log2|an|3),求数列{1bn}的前n项和.(文)已知等差数列{an}的首项a1=0且公差d≠0,bn=2^an(n∈N*),Sn是数列{bn}的前n项和.(1)求Sn;(2)设Tn=Snbn(n∈N*),当d>0时,求limn→+∞Tn.数列{xn}的通项xn=(-1)n+1,前n项和为Sn,则limn→∞S1+S2+…+Snn=______.已知函数f(x)=2x2+1(x>0),数列{an}满足a1=1,当n≥2时,an=f(an-1)(1)求an;(2)若bn=2nan+an+1,若Sn=b1+b2+…+bn,求limn→∞bn•Sn(an)2.无穷数列{an}中,an=12n,则a2+a4+…+a2n+…=______.设数列an是一等差数列,数列bn的前n项和为Sn=23(bn-1),若a2=b1,a5=b2.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn.定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上,其中n为正整数.(1)判断数列{an+2}是否为“平方在直角坐标系中,已知点列P1(1,-12),P2(2,122),P3(3,-123),…,Pn(n,(-12)n),…,其中n是正整数.连接P1P2的直线与x轴交于点X1(x1,0),连接P2P3的直线与x轴交于点X2(x已知:函数f(x)=xax+b(a,b∈R,ab≠0),f(2)=23,f(x)=x有唯一的根.(1)求a,b的值;(2)数列{an}对n≥2,n∈N总有an=f(an-1),a1=1;求证{1an}为等差数列,并求出{an}的通项公式.数列{an}满足a1=a,a2=-a(a>0),且{an}从第二项起是公差为6的等差数列,Sn是{an}的前n项和.(1)当n≥2时,用a与n表示an与Sn;(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值,试求如果一个数列{an}对任意正整数n满足an+an+1=h(其中h为常数),则称数列{an}为等和数列,h是公和,Sn是其前n项和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则S2008=______.在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)令cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.数列{an}满足a1=0,a2=2,an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2,n=1,2,3,…,(I)求a3,a4,并求数列{an}的通项公式;(II)设Sk=a1+a3+…+a2k-1,Tk=a2+a4+…+a2k,Wk=2Sk2+Tk(k∈N*),已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.(Ⅰ)用xn表示xn+1;(Ⅱ)若x1=4,记an=lgxn+2xn-2,证明数列{an}成等比已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)若数列{an+λ2n}为等差数列,求实数λ的值;(2)求数列{an}的前n项和Sn.数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2nπ2)an+sin2nπ2,n=1,2,3,….(1)求a3,a4并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=a2n-1a2n,Sn=b1+b2+…+bn.证明:当n≥6时,|Sn-2|<1n.在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对任意正整数m均成立,那么就称{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行.29和2008是两个喜庆的数字,若使2008+n29+n与200829之间所有正整数的和不小于2008,则n的最小值为______.数列an中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2且n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)设bn=an+32n,证明{bn}是等差数列;(3)求数列{an}的前n项和Sn.已知f(x)=-4+1x2数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1an+1)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Tn且满足Tn+1an2=Tnan+12+16a数列{an}满足:a1=14,a2=15,且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立,则1a1+1a2+…+1a97的值为()A.5032B.5044C.5048D.5050已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.数列{an}满足:an=12n,n为奇数13n,n为偶数.,它的前n项和记为Sn,则limn→∞Sn=______.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log12an,n∈N*.(1)求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和Tn;(2)设数列{bnan}的前n项和为Un,求证:0<Un≤4.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1>1,且6sn=(an+1)(an+2)(n为正整数).(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=an,n为偶数2an,n为奇数,求Tn=b1+b2+…+bn;(数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项的和.对于n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项an;(2)设数列{1an}的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为Rn,求证:当n≥2,我们规定:对于任意实数A,若存在数列{an}和实数x(x≠0),使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,则称数A可以表示成x进制形式,简记为:A=.x\~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an).如:A=.2\~(-1)(数列{an}满足119a1+(119)2a2+…+(119)nan=n22+n2,n∈N*.当an取得最大值时n等于()A.4B.5C.6D.7对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=x2+abx-c(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0、2,且f(-2)<-12.(1)试求函数f(x)的单调区间;(2)已已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a12+a22+…an2=______.已知数列{anλn-(3λ)n}是等差数列,公差为2,a1,=11,an+1=λan+bn.(I)用λ表示bn;(II)若limn→∞bn+1bn=4,且κ≥3,求λ的值;(III)在(II)条件下,求数列{an}的前n项和.已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=13n+1(n∈N*),则limn→∞an=______.设同时满足条件:①bn+bn+22≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.(Ⅰ)若数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,a3=4,S3=18,求Sn;(Ⅱ)判断(Ⅰ已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项和为Sn,又Sk=2550.(1)求a及k值;(2)求1S1+1S2+1S3+…+1S2006.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=13(an-1+2an-2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1.(1)求数列{a已知数列{an},其前n项和Sn满足Sn+1=2Sn+1,且a1=1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.已知数列{an}的首项a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为______.已知等差数列{an}的前n项和胃Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项,…,第2n项,…,按数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2,a4,a5;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;(Ⅲ)设bn=log2Sn,存在数列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=n(n+1)(n+2)Sn,试求数列{cn}的已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n为正整数)都在函数y=(12)x图象上.(Ⅰ)若数列{an}是等差数列,证明:数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设an=n(n为正整数),过点Pn,Pn+1的已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和Tn.设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请写出g(n)通项公式(不必说明理由);若不存在,说明理由.______.已知数列{an}的首项a1=12,前n项和Sn=n2an.(Ⅰ)求证:an+1=nn+2an;(Ⅱ)记bn=lnSn,Tn为{bn}的前n项和,求e-Tn-n的值.已知数列{an}满足a1=a,an+1=(4n+6)an+4n+102n+1(n∈N*).(Ⅰ)试判断数列{an+22n+1}是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项an.(Ⅱ)如果a=1时,数列{an}的前n项和为已知数列{an}的前n项和为sn,且a1=1,nan+1=(n+2)sn(n∈N*).(1)求证:数列{snn}为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式及前n项和sn;(3)若数列{bn}满足:b1=12,bn+1n+1=bn+snn(n
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题300
已知数列{an}与{bn}有如下关系:a1=2,an+1=12(an+1an),bn=an+1an-1.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,求证:Sn<n+43.数列{an}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3),其前n项和为Sn,则S30为()A.470B.490C.495D.510已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,求数列{Snn}的前n项和Tn.已直数列{an}的前n项和为Sn,若an=1n+n-1(n∈N*),则S2009的值为()A.2008B.2008-1C.2009D.2009-1已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=(14)n(n∈N﹡),Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得5Sn-4nan=______.数列{an}是以a为着项,q为公比的等比数列,令bn=1-a1-a2-a3-…-an,Cn=2-b1-b2-b3-…-bn.n∈N*(1)试用a,q表示bn和cn;(2)若a<0,q>0且q≠1,试比较cn与cn+1的大小;(3)是否存在下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*))个正数排成的n行n列数表,aij表示第i行第j列的一个数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d,表中各行,每一行的数从左到右依次已知a1=b1=1,an+1=bn+n,bn+1=an+(-1)n,n∈N*.(1)求a3,a5的值;(2)求通项公式an;(3)求证:1a1+1a2+1a3+…+1an<134设f(x)=1x2,M=f(1)+f(2)+…+f(2009)则下列结论正确的是()A.M<1B.M=40172009C.M<2D.M>40172009在数列{an}中,a1=0,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则s100=______.已知数列{an}为等差数列,且a3=7,a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足an=log3bn,求数列{bn}的前n项和Tn.{an}是无穷数列,已知an是二项式(1+2x)n(n∈N*)的展开式各项系数的和,记Pn=1a1+1a2+…+1an,则limn→∞Pn=______.等差数列{an}中,前n项和为Sn,首项a1=4,S9=0(1)若an+Sn=-10,求n;(2)设bn=2|an|,求使不等式b1+b2+…+bn>2007的最小正整数n的值.数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.数列412,814,1618,32116…,的前n项和为()A.2n+2-2-n-1B.2n+2-2-n-3C.2n+2+2-n-1D.2n+2-2-n-1-1已知数列{an}满足a1=14,2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2,n∈N*),an≠0.(1)求证:数列{1an+(-1)n}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)设bn=an•sin(2n-1)π2,数列{bn}的前n项和为T正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列.(1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和.已知数列{an}.{bn}满足:a1=b1=1,a4=b8,an+1=2an+1,bn+2-2bn+1+bn=0,n∈N*(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(II)求数列{an•bn}的前n项和Sn.已知正项等差数列an的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an3n,记数列bn的前n项和为Tn,求Tn.对于E={a1,a2,….a100}的子集X={a1,a2,…,an},定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,0,0,…,0(1)子设n是正整数,r为正有理数.(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(Ⅱ)证明:nr+1-(n-1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1-nr+1r+1;(Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如[2]设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1•Sn,n∈N*(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn,当n≥2时,满足an-2n=Sn-1,又bn=an2n,(I)证明:数列{bn}是等差数列;(II)求数列{Sn}的前n项和Tn.正项数列{an}满足a2n-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=1(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n-2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}满足b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{1a2n-1a2n+1}的前n项和.已知点(1,13)是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足:Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}和{数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}前12项和等于()A.76B.78C.80D.82正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=n+1(n+2)2an2,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意n∈N*,都有Tn<564.已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an•bn}的前n项和Sn.已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明Sn+1Sn≤136(n∈N*).已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比.(Ⅰ)求a及bn;(Ⅱ)设数列{log2an}的前n项和为Tn.求使Tn>bn的最小已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若bn=anlog2an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*.(1)证明数列{an}是等比数列,并写出通项公式;(2)若Sn2-λTn<0对n∈N*恒成立,求λ设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′(π2)=0(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=2(an+12an)求数列{bn}的前n项和Sn数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+an=-n(n∈N*)恒成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)bn=ln(an+1),求{anbn}的前n项和;(3)求证:12a1a2+122a2a3+…+12nanan+1<2.已知数列{an}中,a2=a(a为非零常数),其前n项和Sn满足:Sn=n(an-a1)2(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a=2,且14am2-Sn=11,求m、n的值;(3)是否存在实数a、b,使得对任意已知Sn是等比数列{an}的前n项和,an∈N+,a2=30,a1S3=999.(Ⅰ)求an和;(Ⅱ)设Sn各位上的数字之和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.设数列{an}的前n项和为Sn,且(t-1)Sn=2tan-t-1(其中t为常数,t>0,且t≠1).(I)求证:数列{an}为等比数列;(II)若数列{an}的公比q=f(t),数列{bn}满足b1=a1,bn+1=12f(bn),求数数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+1(n∈N*),则1a1+1a2+…+1a2013等于()A.20122013B.40242013C.20131007D.10061007已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+n,数列{bn}满足bn=2an,求limn→ω(b1+b2+…+bn).已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),b1+b2+b3=15(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a1+b1,a2+b2,a3已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Dn;(Ⅲ)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+c(c为常数,n∈N*),且a1,a2,a5成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.巳知等比数列{an}的首项和公比都为2,且a1,a2分别为等差数列{bn}中的第一、第三项.(I)求数列{an}、{bn}的通项公式;(II)设Cn=3(log2a3n)bn,求{cn}的前n项和Sn.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=14,an+1=Sn+t16(n∈N*,t为常数).(Ⅰ)若数列{an}为等比数列,求t的值;(Ⅱ)若t>-4,bn=lgan+1,数列{bn}前n项和为Tn,当且仅当n=6时Tn取最小已知数列{an}是等比数列且a3=14,a6=2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)若数列{an}满足bn=3log2an,且数列{bn}的前“项和为Tn,问当n为何值时,Tn取最小值,并求出该最小值.已知在正项等比数列{an}中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=()A.224B.225C.226D.256设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)写出a2,a3的值,并求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn.已知f(x)=x2-2017x+8052+|x2-2017x+8052|,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)=______.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=23,且S2+12a2=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=log3a2n4,求数列{1bn•bn+2}的前n项和Tn.数列{an}的前n项和为Sn=2an-2,数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}与{bn}的通项公式;(3)求证:b1a1+b设正项等比数列{an}的首项a1=12,前n项和为Sn,且-a2,a3,a1成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式:(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn试比较Tn与3n-1n+1的设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=kn+ba1an+1对任意n(n∈N*)恒成立,其中k,b是常数已知数列{an}为等差数列,{an}的前n项和为Sn,a1+a3=32,S5=5(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=14,Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1,求Tn.已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N+),其前n项和Sn=910,则直线xn+1+yn=1与坐标轴所围成三角形的面积为()A.36B.45C.50D.55已知数列{an}满足a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn=an3n.(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.设数列{an}与{bn}满足:对任意n∈N*,都有ban-2n=(b-1)Sn,bn=an-n•2n-1.其中Sn为数列{an}的前n项和.(1)当b=2时,求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)当b≠2时,求数列{an}的前n项已知函数f(x)=x2n+ax的导数f′(x)=2x+3,则数列{1f(n)+2}(n∈N*)的前n项和是()A.nn+1B.n-12(n+1)C.n2(n+2)D.n(n+1)(n+2)数列{an}的项是由l或2构成,且首项为1,在第k个l和第k+1个l之间有2k-1个2,即数列{an}为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列{an}的前n项和为Sn,则S20=_____已知函数f(x)=sin2x2+3sinx2cosx2-12.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数y=g(x)(x>0)的图象.若的图象与直线y=12交点的横坐标由小到大依若数列{bn}:对于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如数列cn:若cn=4n-1,当n为奇数时4n+9,当n为偶数时,则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数将函数f(x)=sinx2cosx2+2013在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2nan,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式设数列{an}的前n项和为Sn且Sn2-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3…(1)求a1,a2(2)求Sn与Sn-1(n≥2)的关系式,并证明数列{1Sn-1}是等差数列.(3)求S1•S2•S3…S2010•S2011的值.已知等比数列{an}满足a1a2=-13,a3=19(I)求{an}的通项公式;(II)设bn=n+11×2+n+12×3+…+n+1n(n+1),求数列{bnan}的前n项的和.在等比数列{an}中,a1=2,a4=16(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1log2an•log2an+1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且an+1=an+2an-1(n≥2).(1)设bn=an+1+λan,是否存在实数λ,使数列{bn}为等比数列.若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由;(2)求数列{an}的前等差数列{an}中,a5=9,a3+a9=22.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间各插入一个数2n,使之成为新的数列{bn},Sn为数列{bn}的前n项的和,求S已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an+1-λan}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),求实数λ的值.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2•a4=16则S4=______.设数列{an}为等比数列,数列{bn}满足bn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,n∈N*,已知b1=m,b2=3m2,其中m≠0.(Ⅰ)求数列{an}的首项和公比;(Ⅱ)当m=1时,求bn;(Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项已知数列{an}满足递推式an=2an-1+1(n≥2),其中a3=7(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知数列(bn}满足bn=nan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.已知an=sinnπ3cosnπ3(n∈N*),数列{an}前n项的和为Sn,则S2013的值为()A.2013B.0C.34D.201334已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1-an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)记数列{an}的前n项和Sn,求使得Sn>21-2n成立的最小整数n.已知等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=2,b2=a2+1=∫202xdx,(1)分别求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项的和Sn.已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0,且a3+2是a2,a4的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n•2n+1>50成立的正已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,令bn=ancos2nπ3,记数列{bn}的前项和为Tn,则T31=______.已知函数f(x)=xlnx,(x>0,且x≠1)(Ⅰ)求函数r(x)=1f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意的n∈N+,都有an>0,且a1+a2+…+a2013=2013e(e为自然对数的底),求f(a1)+f(a2)+…+f(a2013)的最小在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列.(1)已知数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1anan+1,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=19-1n+9,求已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列.设bn+2=3log14an(n∈N*),数列{cn}满足cn=1bn•bn+1.(Ⅰ)求证:数列{bn}成等差数列;(Ⅱ)求数列{cn}的前n项和Sn.已知数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前10项和等于()A.130B.120C.55D.50已知正项数列满足4Sn=(an+1)2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=12an+n,n为奇数an-2n,n为偶数(I)求a2,a3;(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;(Ⅲ)求数列{an}前20项中所有奇数已知公差不为零的等差数列{an}的前10项和S10=55,且a2,a4,a8成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+2n,求{bn}的前n项和Tn.设数列{an}的通项公式为an=2n,数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0,(t∈R,n∈N*).(1)试确定实数t的值,使得数列{bn}为等差数列;(2)当数列{bn}为等差数列时,对每个正整数k,在已知数列{an}中a1=1,a2=2,数列{an}的前n项和为Sn,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则数列{1anan+1}的前n项和为______.已知函数f(x)=x2+(a-1)x+b+1,当x∈[b,a]时,函数f(x)的图象关于y轴对称,数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=f(n).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an2n,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn>对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.令bn=4a2n+1-1(n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,对任意的n∈N*,不等式Tn<m100恒成立,则实数m的最小值是____已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{1anan+1}的前2013项和为______.已知等比数列{an}的公比为q(q≠1)的等比数列,且a2011,a2013,a2012成等差数列.(Ⅰ)求公比q的值;(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,l)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2013x1+log2013x2+log2013x3+…+log2013x2011+log2013x2012的值为()A.-log20132012B.-1C.(log20132012)已知数列{an}中,an=2np+qn(p,q为常数)(1)若p=q=1,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若p=1,问常数q如何取值时,使数列{an}为等比数列?已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn、an、12成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若a2n=2-bn,设Cn=bnan,求数列{Cn}的前项和Tn.定义:称np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设dn=2n•an,试求数列{dn}的前n项和Tn.已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)-1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)将数列{an}前2013项中的第3项,第6项,…,第3k项删去,求数列设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n≥2),Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Tn;(3)求满足(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)>1010201已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1anan+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式和Tn;(2)
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题400
若S=11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1),则S=______.数列0.••18,0.0000••18,…的前n项和______及各项和S=______.数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则{an}的前60项和等于()A.960B.1920C.930D.1830已知数列{an}满足a1=31,an+1=an+2n,n∈N+,则ann的最小值是______.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n,(n∈N*).(1)证明数列{an+3}为等比数列(2)求{Sn}的前n项和Tn.已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.(1)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<5b2+a88-180,求整数q的值;(2)在(1)的条件下,试问数列已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=4,S5=30等比数列{bn}中,bn+1=3bn,n∈N+,b1=3.(1)求an,bn;(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn.已知数列{an}的前n项和Sn=-ban+1-1(1+b)n,其中b是与n无关的常数,且0<b<1,若limn→∞Sn存在,则limn→∞Sn=______.已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn.(1)若2Sn=1-an,n∈N+,求an.(2)若2Tn=1-an,an≠0,证明{1Tn}为等差数列,并求an.(3)在(2)的条件下,令Mn=T1•T2+T2•T3+…+Tn•Tn+1,求在数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)(n∈N*)在直线y=2x上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=log2an,求数列1bn×bn+1的前n项和Tn.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=38,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n=1,2,3…).(I)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)求数列{bn}的通项bn;(Ⅲ)若cn=an+bnn,求数列{cn}的前n项和已知数列{an}满足a1=2,an+1=5an-133an-7(n∈N*),则数列{an}的前100项的和为______.已知正数数列{cn}的前n项和为Sn,且满足Sn+cn=1(n∈N*).(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设an=1cn,探究是否存在数列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(2n一1)22n+1+2对一切正整数n都已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=ka2n+2(n≥2,n∈N*,k>0),a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{1anan+1}的前n项和为Tn,是否存在常数k,使得Tn<2对所有已知等比数列{an}的公比为q,首项为a1,其前n项的和为Sn.数列{an2}的前n项的和为An,数列{(-1)n+1an}的前n项的和为Bn.(1)若A2=5,B2=-1,求{an}的通项公式;(2)①当n为奇数时数列{an}中,a1=2,an+1-an=3n∈N*,求数列{an}的通项公式an.已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设Tn为数列{an2n}的前n项和,求Tn.已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)记cn=an•bn,求数列{cn}的在数列{an}中,a1=-12,an+1=2an+n-1,n∈N*.(1)证明数列{an+n}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)求Sn的最小值,指出Sn取最小值时n的值,并说明理由.已知等差数列{an}中,a2=-20,a1+a9=-28.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足an=log2bn,设Tn=b1b2…bn,且Tn=1,求n的值.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=1log2(ann+1)+3(n∈N*),Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N*不等式4数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n=1,2,3…).(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;公差不为0的等差数列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式和它的前20项和S20.(II)求数列{1anan+1}前n项的和Tn.数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{Snn}的11项和为______.{an}是等差数列,满足OC=a1005OA+a1006OB,而AB=λAC,则数列{an}前2010项之和S2010为______.数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1则a5+a4=______.把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…,循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Sn.设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1n(n+1)+a2n,n=1,2,…,求数列{bn}的前将正奇数划分成下列组:(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19)…,则第n组各数的和是______,第n组的第一个数可以表示为______已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列;(Ⅲ)判断是否存在λ(λ∈Z),使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成已知数列{an}满足:a1=1,an+an+1=4n,Sn是数列{an}的前n项和;数列{bn}前n项的积为Tn,且Tn=2n(1-n)(1)求数列{an},{bn}的通项公式(2)是否存在常数a,使得{Sn-a}成等差数列?求和:11×2+12×3+13×4+…+1n×(n+1)()A.nn+1B.n-1nC.n+1n+2D.n+1n设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10=()A.1033B.1034C.2057D.2058设数列{an}(n∈N*)的前n项和Sn=n2+n,则a7的值为______.设m∈N+,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值为______.设数列{an}的前n项和为Sn,已知S1=1,Sn+1Sn=n+cn(c为常数,c≠1,n∈N*),且a1,a2,a3成等差数列.(1)求c的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若数列{bn}是首项为1,公比为c的已知函数f(x)=xp+qx+r,f(1)=6,f′(1)=5,f′(0)=3,an=1f(n),n∈N+,则数列{an}的前n项和是______.已知数列{an}的通项公式an=log2nn+1(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的自然数n有()A.最大值15B.最小值15C.最大值16D.最小值16已知数列an中,a1=1,a2=a-1(a≠1,a为实常数),前n项和Sn恒为正值,且当n≥2时,1Sn=1an-1an+1.(1)求证:数列Sn是等比数列;(2)设an与an+2的等差中项为A,比较A与an+1的大小;已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2Sn=an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Bn.设等差数列:2,a+2,3a,…的前n项和为Sn,则1S1+1S2+…+1S100的值是______.数列-13×5,25×7,-37×9,49×11,…的通项为()A.(-1)n+11(2n+1)(2n+3)B.(-1)n+1n(2n+1)(2n+3)C.(-1)n1(2n+1)(2n+3)D.(-1)nn(2n+1)(2n+3)已知数列an是首项为1,公比为q(q>0)的等比数列,并且2a1,12a3,a2成等差数列.(I)求q的值(II)若数列bn满足bn=an+n,求数列bn的前n项和Tn.已知数列{an}的通项公式an=1+2+…+nn,bn=1anan+1,则数列{bn}的前n项和为______.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了余下的砖块的一半多一块,…依此类推,每层都用了上次剩下的砖块的一半多一块,这样到第十层恰好把砖用完,求原设f(x)=1+lnx2-x,则f(12013)+f(22013)+f(32013)+…+f(40252013)=______.已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1,n∈Z).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{n2an}的前n项和Tn;(3)若存在n∈N*,使关于n的不等式an≤(n+1)λ成立,求常已知f(x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f(a1),f(a2),…,f(an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若bn=anf(an),且数列{bn}的前n项和为Sn已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-2n,数列{bn}的前n项和Tn=3-bn.①求数列{an}和{bn}的通项公式;②设cn=14an•13bn,求数列{cn}的前n项和Rn的表达式.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(I)求a1,d和Tn;(II)若对任意的n已知在公比为实数的等比数列{an}中,a3=4,且a4,a5+4,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,求2an+1Sn的最大值.在△ABC中,A,B,C为三个内角,f(x)=4cosxsin2(π4+x2)+3cos2x-2cosx.(1)若f(B)=2,求角B;(2)若f(B)-m>2有解,求实数m的取值范围;(3)求f(π4)+f(2π4)+f(3π4)+…+f(2003π4)的值已知数列{an}的前n项和,Sn=n2+2n+1.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)记Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1,求Tn.已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4),x∈R(1)求函数图象的对称中心(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=-45,0<α<β≤π2,求证:[f(β)]2-2=0.(3)求f(π4)+f(2π4)+f(3π4)+f(π)+…f(2011π设Sn是数列{an}的前n项和,且点(n,Sn)在函数y=x2+2x上,(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知bn=2n-1,Tn=1a1.b1+1a2.b2+…+1an.bn,求Tn.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45…,1n,2n,…,n-1n,…有如下运算和结论:①a24=38;②数列a1,a2+a3,a4+a5+已知数列{an}中,a1=12,对一切n∈N+,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,(Ⅰ)令bn=an+1-an-1,求证数列{bn}是等比数列,并求通项bn;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅲ)设Sn、Tn分别为已知数列{an}的前n项和记为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若cn=nan,求数列{cn}的前n项和Tn.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=(-3)n•an,求数列{bn}的前n项和Tn.设f(x)=13x+3,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为()A.3B.133C.2833D.1333已知{an}是等差数列,其中a3+a7=18,a6=11.(Ⅰ)求数列{an}通项an;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=an+2n-1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.Sn=213+419+6127+…+(2n+13n)=______.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)已知cn=an+bn求cn的前n项之和Tn.已知数列{an}、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1.(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(II)求数列{2nbn}的前n项和Dn;(III)若数列{bn}的前n项和为Sn,设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>T等差数列{an}中,前n项的和为Sn,若a7=1,a9=5,那么S15等于()A.90B.45C.30D.452(45,2)对于一个有限数列A:a1,a2,…an,定义A的蔡查罗和(蔡查罗是数学家)为1n(S1+S2+…Sn),其中Sk=a1+a2+…ak(1≤k≤n).若一个99项的数列:a1,a2,…a99的蔡查罗和为1000,则数列:2,a已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对n∈N+均有c1b1+c2b已知数列{an}满足a1=25,an+1=an+2n+1,则an的通项公式为______.已知等差数列an是递增数列,且满足a5=3,S6=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=1anan+1,数列bn的前n项和Sn,若存在整数t,使Sn≤t对任意自然数n∈N*恒成立,求t的最小值.定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),设数列{an}满足an=F(n,1)F(2,n),若Sn为数列{anan+1}的前n项和,则下列说法正确的是()A.Sn>lB.Sn≥lC.Sn<1D.Sn≤l已知数列{an},其前n项和为Sn,点(n,Sn)在以F(0,14)为焦点,以坐标原点为顶点的抛物线上,数列{bn}满足bn=2an.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an×bn,求数列{cn}已知数列{an}中,a1=1,an<an+1,设bn=an+1-anan+1•an+1,Sn=b1+b2+…+bn,求证:(Ⅰ)bn<2(1an-1an+1);(Ⅱ)若数列{an}是公比为q且q≥3的等比数列,则Sn<1.数列{an}的通项公式为an=2sinnπ2,则S2007等于()A.-4B.-2C.0D.2已知当x=5时,二次函数f(x)=ax2+bx+c取得最小值,等差数列{an}的前n项和Sn=f(n),a2=-7.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=an2n,证明Tn≤-92.数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.(1)求数列的公差及通项an.(2)求前n项和Sn的最大值及相应的n的值(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前16项之和给出集合序列{1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},…,设Sn是第n个集合中元素之和,则S21为()A.1113B.4641C.5082D.5336数列{an}的前n项和为Sn,且满足log2an+1=1+log2an,若S10=10,则a11+a12+…+a20的值等于()A.10×211B.10×210C.11×211D.11×210数列{(-1)n•n}的前n项和为Sn,则S2007等于()A.1004B.-1004C.2005D.-2005已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=1,2,3….(Ⅰ)求证:数列{an-2n}为等比数列;(Ⅱ)设bn=an•cosnπ,求数列{bn}的前n项和Pn;(Ⅲ)设cn=1an-n,数列{cn}的前n项和为已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,满足关系Sn=2an-2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=1(log2an)2,求证:对任意正整数已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,则a2013=______.已知数列{an}的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式an,bn(Ⅱ)设{bn}的前n项和为limn→∞C0n+C1n+C2n1+3+5+…+(2n-1)=()A.1B.12C.13D.14已知等比数列{an}中,公比q∈(0,1),a2+a3=32,a1•a4=12,设bn=12nan,(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn.已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列.若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1)(1)求数列{an},{bn}的通项公式已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上,则1S1+1S2+1S3+…+1Sn=______.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液,容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液,先将A内的盐水倒1升进入B内,再将B内的盐水倒1升进入A内,称为一次操作;这样反复操作n次,定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意m,n∈(-1,1),都有f(m)+f(n)=f(m+n1+mn),且当x∈(-1,0)时,有f(x)>0(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)的单调性,并证明之;(3)求证(文科做)数列{an}中,a3=1,Sn=an+1(n=1,2,3…).(I)求a1,a2;(II)求数列{an}的前n项和Sn;(III)设bn=log2Sn,存在数列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=1,试求数列{cn}的前n项和.设Sn是正项数列{an的前n项和,且Sn=14an2+12an-34.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在等比数列{bn},使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2对一切正整数n都成立?并证明你的结已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1=______.设数列{an}的前n项和为Sn,已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=12(1)求an(2)设bn=2n-1sn,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等比数列{an}中,a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设等差数列{bn}中,b2=a2,b9=a5,求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,n=1,2,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的x>0,an≥11+x-1(1+x)2(23n-x),n=1,2,…;(Ⅲ)证明:a1+a2+…+an>n2n+1.设数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20,数列{bn}的前n项和为Sn=1-(13)n(n∈N*),(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=an•bn,n=1,2,3,…,求数列{cn}的前n项和Tn.数列{an}的前n项和Sn=n2+n,设数列{bn},bn=2an.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)求Rn=a1b1+a2b2+…+anbn.已知数列{an}的通项公式为an=n.2n求数列{an}的前n项和Sn.数列{an}中,an=1+2+3+…+nn,bn=1anan+1的前n项和为______.已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+1)求数列{an}的前n项和Sn.