数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题列表
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题100
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)是定义域上的增函数:(2)数列{an}满足a1=a≠0,f(an+1)=f(aan)f(a-1)(n=1,2,3,…),已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an,(n为正奇数)an+1,(n为正偶数),则其前6项之和是()A.16B.20C.33D.120设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有2Sn=an+1.(I)求a1,a2的值;(II)求数列{an}的通项公式;(III)令b1=1,b2k=a2k-1+(-1)k,b2k+1=a2k+3k(k=1,已知数列{an}的前n项和Sn=2n+a(1)当a=1时,求{an}的通项公式(2)若数列{an}是等比数列,求a的值(3)在(2)的条件下,求a12+a22+a32+…+an2的和.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4=()A.11B.15C.17D.20计算:limn→∞[1-12+14-18+…+(-1)n-1•12n-1]=______.数列{an}的通项公式是an=n,(n为奇数)2n2,(n为偶数),则数列的前2m(m为正整数)项和是______.已知f(x)=logax(a>0,a≠1),设数列f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an)…是首项为4,公差为2的等差数列.(I)设a为常数,求证:{an}成等比数列;(II)设bn=anf(an),数列{bn}前n项和是(理)设f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,则称f(x)为定义在D上的下凸函数.(1)试判断函数g(x)=2x(x∈R),k已知数列{an}是公差为2的等差数列,它的前n项和为Sn,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记数列{1Sn}的前n项和为Tn求证:Tn<34.已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N*),又bn=|an|(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn.设关于x的不等式:x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项的和为Sn,则S100=______.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an•an+1,求{bn}的前n项和Tn;(3)在(2)的条件下,对任意n∈N*,Tn>m已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)记bn=an+1-an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式;(2)求{an}的通项公式;(3)当q∈(-3,-数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an是(3-x)n的二项展开式中x的系数,设bn=3nan,Tn为数列{bn}的前n项和,则an=______,T99=______.设函数y=f(x)对任意的实数x,都有f(x)=12f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=27x2(1-x).(1)若x∈[1,2]时,求y=f(x)的解析式;(2)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞)),试问:在它的图象上是已知等比数列{an}的各项都是正数,前n项和为Sn,且a3=4,S4=s2+12,求:(1)首项a1及公比q的值;(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为()A.37B.36C.20D.19(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…(2n-3×5-n)=______.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,若对任意正整数n,有anan+1an+2=an+an+1+an+2,且an+1an+2≠1,则该数列的前2010项和S2010=()A.2010B.4020C.3015D.-2010已知等差数列{an},a2=8,前9项和为153.(Ⅰ)求a5和an;(Ⅱ)若bn=2an,证明数列{bn}为等比数列;(Ⅲ)若从数列{an}中,依次取出第二项,第四项,第八项,…,第2n项,按原来的顺序若Sn=12+23+122+232+…+12n+23n,则limn→∞Sn=______.数列{an}满足:a1=1,且对每个n∈N*,an,an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根,则b1+b2+b3+…+b20的和为()A.6385B.5836C.3658D.8365数列22+122-1,32+132-1,42+142-1,…前10项和为______.设数列{an}的前项n和为Sn,点(n,Snn)(n∈N+)均在函数y=2x-1的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2n-1•an,Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn.已知数列{an}满足an+1=an+n,a1=1,则an=______.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(1)求数列的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.已知数列{an}首项a1=1公差d>0,且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2,3,4项,(1)求{an}{bn}的通项公式.(2)设数列{cn}对任意自然数n均有c1b1+c2b2+c3b3+…+cnbn已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=23an+n,其中λ为实数,n为正整数,若数列{an}前三项成等差数列,求λ的值.limn→∞1+12+…+12n1+14+…+14n的值为()A.0B.32C.12D.1已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3;(2)数列{an+p2n}为等差数列,求实数p的值;(3)求数列{an}的前n项和Sn.设{an}为等比数列,Tn=a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan,已知an>0,a1=1,a2+a3=6.(1)求数列{an}的公比;(2)求数列{Tn}的通项公式.等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn.等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;(Ⅱ)求1S1+1S2+…+1Sn.已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1、a3、a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求数列{Sn•2nn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N*).定义:使乘积a1•a2•a3…ak为正整数的k(k∈N*)叫做“和谐数”,则在区间[1,2010]内所有的“和谐数”的和为()A.2048B.4096C.2026D.4已知数列{an}为12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,….若bn=1an•an+2,则{bn}的前几项和Sn=()A.3n2+5n(n+1)(n+2)B.2n2+5n(n+1)(n+3)C.3n2+2n(n+2)(n+3)D.2n2+3n(n+1)(n+2)已知点A(1,13)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,等比数列an的前n项和为f(n)-c,数列bn(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}与{bn}的通已知数列{an}前n项和为Sn且2an-Sn=2(n∈N*).(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n≥1),求{bn}通项公式及前n项和Tn.已知数列2004,2005,1,-2004,-2005,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2010项之和S2010=______.已知数列{an}满足:1a1+1a2+1a3+…+1an=n2(n≥1,n∈N+),(1)求a2011(2)若bn=anan+1,Sn为数列{bn}的前b项和,存在正整数b,使得Sn>λ-12,求实数λ的取值范围.设数列{an}的首项a1=32,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(n∈N*).(Ⅰ)求a2及an;(Ⅱ)求满足1817<S2nSn<87的所有n的值.设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=12+log2x1-x的图象上满足下面条件的任意两点.若OM=12(OA+OB),则点M的横坐标为12.(1)求证:M点的纵坐标为定植;(2)若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,S2=8,S4=32,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.已知数列{an}的前4项和等于4,设前n项和为Sn,且n≥2时,an=12(Sn+Sn-1),则S10=______.从数列{3n+log2n}中,顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项、…,按原来的顺序组成一个新数列{an},则{an}的通项an=______,前5项和S5等于______.设{an}是正数数列,其前n项和Sn满足Sn=14(an-1)(an+3).(1)求a1的值;(3)求数列{an}的通项公式;(5)对于数列{bn},Tn为数列{bn}的前n项和,令bn=1sn,试求Tn的表达式.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.(Ⅰ)设Sk=2550,求a和k的值;(Ⅱ)设bn=Snn,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.已知数列{an}满足a1=a(a≠0,且a≠1),其前n项和Sn=a1-a(1-an)(1)求证:{an}为等比数列;(2)记bn=anlg|an|(n∈N*),Tn为数列{bn}的前n项和,那么:①当a=2时,求Tn;②当a=-73时,是已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=14,且2Sn=2Sn-1+2an-1+1(n≥2,n∈N*).数列{bn}满足b1=34,且3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列;(Ⅱ)求证:数列{bn-an}为等比设(1+x+y)x的展开式的不含x项的系数和为ax,则limx→∞(1a1+1a2+…+1an)=______.已知数列{an-n}是等比数列,且满足a1=2,an+1=3an-2n+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.数列{an}前n项和为Sn且an+Sn=1(n∈N*)(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n≥1),求{bn}通项公式及前n项和Tn.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n+1,n∈N*.(Ⅰ)若数列{an+pn+q}是等比数列,求实数p、q的值;(Ⅱ)若数列{an}的前n项和为Sn,求an和Sn;(Ⅲ)试比较an与(n+2)2的大小.若数列{an}满足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数),则称数列{an}为二阶线性递推数列,且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,方程的根称为特征根;数列{an}的通项已知数列{an}满足a1=1,点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=-anbn,等差数列{an}中,,前n项和为Sn,S2=4且S4=12,等比数列{bn}的公比为8,且b3=64.(Ⅰ)求an与bn;(Ⅱ)求1S1+1S2+…+1Sn.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1,则当n≥2时,1a1+1a2+…+1an=______.等差数列{an}中,a1、a2、a3分别是下表第一、二、三列中的某个数,且a1、a2、a3中的任何两个数不在下表的同一行.第一列第二列第三列第一行02-1第二行205第三行13-3(Ⅰ)求数列已知数列{an}是等比数列,a4=e,如果a2,a7是关于x的方程:ex2+kx+1=0,(k>2e)两个实根,(e是自然对数的底数)(1)求{an}的通项公式;(2)设:bn=lnan,Sn是数列{bn}的前n项的和,已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn+1=4an-2,且a1=2.(Ⅰ)求证:对任意n∈N*,an+1-2an为常数C,并求出这个常数C;(Ⅱ)如果bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项的和.在数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2n+1.(Ⅰ)证明:数列{an-n}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn.已知等差数列{an}中,a1=-1,前12项和S12=186.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=(12)an,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<167(n∈N*).数列{an}满足a1=1,1a2n+4=1an+1,记数列{an2}前n项的和为Sn,若S2n+1-Sn≤t30对任意的n∈N*恒成立,则正整数t的最小值为()A.10B.9C.8D.7Pn(xn,yn)是函数y=x2(x≥0)图象上的动点,以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切,且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切,若x1=1,xn+1<xn.(1)求证:数列{1xn}是等差数列;(2)设⊙Pn的面积为Sn,求证:已知数列{an}中,a1=1,an=an-1•3n-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前n项和Sn=log3(an9n)(n∈N*).(I)求数列{bn}的通项公式;(II)求数列{|bn|}的前n项和.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n(1+an),求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…).(Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3;(Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列;(Ⅲ)求Sn.11×4+14×7+17×10+…+1(3n-2)(3n+1)=()A.n3n+1B.n+13n+1C.2n-13n+1D.2n-23n+1已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,且公差d>0,a4•a5=10,a3+a6=7,(1)求数列{an}的通项公式(2)从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,…,a2n-1,…构成一个新数列{bn},求数列{bn已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;(2)令bn=1anan=1,Tn是数列{bn}的前n项和,试证明Tn<12.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=______.已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+12bn=1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn;(Ⅱ)求证数列{bn}是等比数列,并求出其通项公式与前n项和设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额分成n次付清,每期期末所付款是x元,每期利率为r,则x=______.已知等差数列{an}中,d>0,a3a7=-16,a2+a8=0,设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.求:(I){an}的通项公式an;(II)求Tn.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n+1,则当n≥2时,1a1+1a2+…+1an=______.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,对于任意的正整数n都有an-an+1≠1,anan+1an+2=an+an+1+an+2,则S2012=______.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=______.对于数列{an},若存在一个常数M,使得对任意的n∈N*,都有|an|≤M,则称{an}为有界数列.(Ⅰ)判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由.(Ⅱ)是否存在正项等比数列{an},使得{an}的前已知等差数列{an}中a1=1,公差d>0,前n项和为Sn,且S1,S3-S2,S5-S3成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式an及Sn;(Ⅱ)设bn=1Sn(n∈N•),证明:b1+b2+…+bn<2.数列{an}的通项公式an=2n+n+1,则该数列的前99项之和等于______.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn,n∈N*,b1=2,求数列{bn}的前n项和Tn.已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值,并求{an}的通项公式;(2)设bn=2n•an,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)设cn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整设数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,对每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入2k-1个2,得到新数列{bn},设An、Bn分别是数列{an}和{bn}的前n项和.(1)a10是数列{bn}的第几项;数列1,11+2,11+2+3,…,11+2+3+…+n的前10项和为()A.910B.95C.1011D.2011求和:1+2x+3x2+…+nxn-1,x∈R.数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an,n∈N*(1)计算数列{an}的前4项;(2)猜想an的表达式,并证明;(3)求数列{n•an}的前n项和Tn.已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和Sn=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn为数列{1an•an+1}的前n项和,求T2012的值.已知数列{an}满足an+2=-an(n∈N*),且a1=1,a2=2,则该数列前2002项的和为()A.0B.-3C.3D.1已知:数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),而Tn为数列{bnan+2}的前n项和,求Tn.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1(n∈N*)之间插入n个1,构成如下的新数列:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,设等比数列{an}满足:Sn=2n+a(n∈N+).(I)求数列{an}的通项公式,并求最小的自然数n,使an>2010;(II)数列{bn}的通项公式为bn=-nan,求数列{bn}的前n项和Tn.已知函数,f(x)=x3x+1,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*)(I)求证数列{1an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(II)记Sn=a1a2+a2a3+..anan+1,求Sn.已知函数f(x)=3-x,等比数列an的前n项和为f(n)-c,正项数列bn的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn=Sn-1+Sn-1,(n≥2)(1)求c,并求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn(1-12a已知等比数列{an},a2=8,a5=512.(I)求{an}的通项公式;(II)令bn=log2an,求数列bn的前n项和Sn.已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,设cn=bnan,n∈N*(Ⅰ)证明:数列{cn}是等比数列,数列{lnan}是等差数列.(Ⅱ)设数列{lnan},{lnbn}的前n项和分别是Sn,Tn.若a1=2,设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=23,a5+b3=17.(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.已知数列{an}满足a1=76,Sn是{an}的前n项和,点(2Sn+an,Sn+1)在f(x)=12x+13的图象上,数列{bn}中,b1=1,且bn+1bn=nn+1(n∈N*).(1)证明数列{an-23}是等比数列;(2)分别求数列已知等差数列{an}满足:a2=5,a4+a6=22,数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan,设数列{bn}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)求满足13<Sn<14的n的集合.数列1,-5,9,-13,17,-21,…,(-1)n-1(4n-3),…,的前n项和为Sn,则S15的值是()A.28B.29C.27D.85
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题200
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+3,(n∈N*)(1)求通项an;(2)求和1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1.已知数列{an}的通项公式an=n2n,求其前5项的和()A.3116B.5532C.3716D.5732等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6a4=711,则S11S7=()A.-1B.1C.2D.12已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S4=16,S6=36,(1)求an;(2)设λ为实数,对任意正整数m,n,不等式Sm+Sn>λ•Sm+n恒成立,求实数λ的取值范围;(3)设函数f(n)=an,n为奇数已知数列{an}的通项公式an=1(2n-1)•(2n+1).若数列{an}的前n项和Sn=715,则n等于()A.6B.7C.8D.9等差数列{an}中a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn为{an}的前n项和,令bn=anan+1,数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求an和Sn;(2)求证:Tn<13;(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=nan+1(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+2n,则a10=______.已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象上一点,数列{an}的前n项和是Sn=f(n)-1.(I)求数列{an}的通项公式;(II)若bn=logaan+1,求数列{an•bn}的前n项和Tn.在等差数列{an}中,a1=2,公差不为0,且a1,a3,a7成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列bn=1nan,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2=an+1+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则S100=______.已知数列{an},Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2+n+1,则an=______.等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{已知点(x,y)是区域x+2y≤2nx≥0y≥0,(n∈N*)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.(Ⅰ)证明:数列{an-2}为等比数已知数列{an}中,a1=12,an=1-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,那么S2007=______.已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x>0),把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和Sn,则S10=______.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求:(1){an}的通项公式an及前n项的和Sn;(2)|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|.(2+12)+(4+14)+…+(2n+12n)=______.已知f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-32,a3=f(x),其中x>0.(Ⅰ)求x的值;(Ⅱ)求a2+a4+a6+a8+a10的值.已知递增等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项,(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n•2n+1>62成立的正整数n的最小值.已知数列{an}的通项公式为an=2n-5,记前n项和为Sn.(1)求|a1|+|a2|+…+|a10|的值;(2)求数列{Sn}的最小项的值.已知公比为正数的等比数列{an}满足:a1=3,前三项和S3=39.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an•log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}的各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项和,且4Sn=an2+2an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn值.已知数列{an}满足a1=1,an-1an=an-1+11-an(n∈N*,n>1).(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)求数列{anan+1}的前n项和Sn;(3)设fn(x)=Snx2n+1,bn=f'n(2),求数列{bn}的前n项和已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=anbn4,求证数列{cn}的前n和Rn<4;(III)设cn=an+(-1)nlog2bn,求数列{已知{an}前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为______.已知{an}为递减的等比数列,且{a1,a2,a3}⊊{-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)当bn=1-(-1)n2an时,求证:b1+b2+b3+…+b2n-1<163.各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8,函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10,则f(12)=______.已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2,(n∈N*).(1)求a1和an;(2)记bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.设集合M={1,2,3,…,n}(n∈N+),对M的任意非空子集A,定义f(A)为A中的最大元素,当A取遍M的所有非空子集时,对应的f(A)的和为Sn,则:①S3=______.②Sn=______.设{an}是一个公差为2的等差数列,a1,a2,a4成等比数列.(Ⅰ)求数列an的通项公式an;(Ⅱ)数列{bn}满足bn=n•2an,设{bn}的前n项和为Sn,求Sn.已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=n2,(1)求{an}的通项公式(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.设数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn.已知a1=1,d=2,①求当n∈N*时,Sn+64n的最小值;②证明:由①知Sn=n2,当n∈N*时,2s1s3+3s2s4…+n+1SnSn+2<516.已知数列{an}的前项和Sn=n2+2n;(1)求数列的通项公式an;(2)设Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1,求Tn.已知数列{an}中,a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}中,bn•an=(-1)n(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}通项公式以及前n项的和.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项是1,公比为3的等比数列,则an=______.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.(I)求数列{an}的通项公式;(II)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn.在数列{an}中a1=12,a2=15,且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)(1)求a3、a4,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=an•an+1an+an+1,求证:对∀n∈N*,都有b1+b2+…bn<3n-13.已知数列{an}满足:a1=1,nan+1=2(n十1)an+n(n+1),(n∈N*),(I)若bn=ann+1,试证明数列{bn}为等比数列;(II)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn.在数列{an}中,a1=1,an+1=anc•an+1(c为常数,n∈N*),且a1,a2,a5成公比不为1的等比数列.(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列;(Ⅱ)求c的值;(Ⅲ)设bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和S若有穷数列{an}满足条件a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),则称数列{an}为“对称数列”.例如,数列1,2,3,2,1与数列4,2,1,1,2,4都是“对称数列”.(在等比数列{an}中,an>0(n∈N*)且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-30+4log2an(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.已知数列{an}的前n项的和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2,n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项的和Tn.数列{an}通项公式为an=1n(n+2),则数列{an}前n项和为Sn=______.已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910,求无穷数列{1bn}所有项的和.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+1n(n+1),则通项公式an=______.已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.(Ⅰ)求证:数列{an-13×2n}是等比数列;(Ⅱ)Sn是数列{an}的前n项的和.问是否存在常数λ,使得bn已知数列{an}的前n项和Sn=a[2-(12)n-1]-b[2-(n+1)(12)n-1](n=1,2,…),其中a、b是非零常数,则存在数列{xn}、{yn}使得()A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列B.在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*,)a1=-23(1)求an;(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.设数列{an}是等比数列,a1=C3m2m+3⋅A1m-2,公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项(按x的降幂排列).(1)求a1;(2)用n,x表示数列{an}的通项an和前n项和Sn;(3)若An=C1nS1+C2nS2+已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n(n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=2(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;(Ⅲ)若∃n∈N*,使Tn<C成立,求实数C的取值范围.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则在1~100这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是()A.130B.325C.676D.1300已知数列an,其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N*).(Ⅰ)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(Ⅱ)如果数列bn满足an=log2bn,请证明数列bn是等比数列,并求其前n项和;(Ⅲ)设(理){an}是等差数列,公差d>0,Sn是{an}的前n项和.已知a2a3=40.S4=26.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=1anan+1,求数列{bn}前n项和Tn.有一个翻硬币游戏,开始时硬币正面朝上,然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币:①骰子出现1点时,不翻动硬币;②出现2,3,4,5点时,翻动一下硬币,使另一面朝上;③出现6各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn=14a2n+12an(n∈N*);(1)求an;(2)令bn=an,n为奇数bn2,n为偶数,cn=b2n+4(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn;(3)令bn=λqan+λ(λ、q为常数若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足an=an-1+an-22(n3,4,…).(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2•a6(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,记数列{1bn}的前n项和为Tn.若已知已知函数f(x)=x2x+1,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列;(Ⅱ)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,试比较2Sn与1的大小.已知集合A={-5,-4,0,6,7,9,11,12},X⊆A,定义S(x)为集合X中元素之和,求所有S(x)的和S.已知定义在R上的函数f(x)满足:①当x>0时,f(x)>1,②∀x、y∈R,f(x+y)=f(x)f(y).数列{an}满足①a1=1,②f(an+1)=f(an)f(1),(n∈N*),Tn=-a12+a22-a32+…+(-1)na2n,则T100等于()A.设数列{an},{bn}满足:a1=4,a2=52,an+1=an+bn2,bn+1=2anbnan+bn.(1)用an表示an+1;并证明:∀n∈N+,an>2;(2)证明:{lnan+2an-2}是等比数列;(3)设Sn是数列{an}的前n项和等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S5=45,S6=60.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn-bn=an-1(n∉N*),且b1=3,设数列{1bn}的前n项和为Tn.求证:Tn<34.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点Pn(Sn,an)(n∈N*)总在直线x-3y-1=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列{1an}的前n项和,若对∀n∈N*总有Tn>1-m2成立,其中m∈N*,求m的设数列{xn}满足lnxn+1=1+lnxn,且x1+x2+x3+…+x10=10.则x21+x22+x23+…+x30的值为()A.11•e20B.11•e21C.10•e21D.10•e20(文科)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2n-1(nϵN*)(1)设bn=an+2n(nϵN*),证明数列{bn}是等比数列;(2)设Cn=2n(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)(n∈N*),求Tn=c1+c2+…若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a3=()A.2B.4C.6D.8已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.(1)求证:数列{an-13×2n}是等比数列;(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求Sn;(3)问是否存在常数已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=12n2+112n;数列满足:b3=11,bn+2=2bn+1-bn,其前9项和为153(1){bn}的通项公式;(2)设Tn为数列{cn}的前n项和,cn=6(2an-11)(2bn-1),求使不等已知数列an中a1=1,点P(an,an+1)在直线y=x+2上,(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn=a12+a222+…+an2n,求Sn.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=16,a4=7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求1a1a2+1a2a3+…+1a2007a2008的值.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=3,S5=25(1)求数列{an}的通项an(2)设数列{bn}满足bn=2an求数列{bn}的前n项和Tn.给定an=1n+1+n(n∈N*),则使a1+a2+…+ak为整数的最小正整数k的值是______.已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且a1=12公比q≠1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{bn}满足bn=log12an2,Sn是数列{bn}的前n项和在数列{an}中,前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+2=an+1+(-1)n,则S100=______.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N+).(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{nan}的前n项和为Tn,求Tn的表达式;(Ⅲ)对任意n∈N+,试比较Tn2与Sn的已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意的n∈N+,有Sn=32an-32.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1log3an•log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,与x轴的另一个交点为(23,0),且f(13)=-13,数列{an}的前n项的和为Sn,点(n,Sn)在函数y=f(x)的图象上.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2数列{an},{bn}的通项公式满足:an•bn=1,且an=n2+3n+2,则数列{bn}的前10项之和是______.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…,前100项之和为0,则θ的值是()A.kπ±π3(k∈Z)B.2kπ±π3(k∈Z)C.2kπ±2π3(k∈Z)D.以上答案均不对数列{an}的通项公式为an=1(n+1)(n+2),则该数列的前n项和Sn=______.等比数列{xn}各项均为正值,yn=2logaxn(a>0且a≠1,n∈N*),已知y4=17,y7=11(1)求证:数列{yn}是等差数列;(2)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值是多少?(3)求数列{|yn|}的前设函数y=f(x)对一切实数x都有f(3+x)=f(3-x)且方程恰有6个不同的实根,则这6个根之和为______.等差数列{an}的公差d不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn(2)证明数列{2an}为等比数列;(3)求数列{1an•an+1}的前n项和Tn.公差不为零的等差数列{an}中,已知其前n项和为Sn,若S8=S5+45,且a4,a7,a12成等比数列(Ⅰ)求数列{an}的通项an(Ⅱ)当bn=1Sn时,求数列{bn}的前n和Tn.在数列{an}中,a1=1,an+1=anc-an+1(c为常数,n∈N*)且a1,a2,a5成公比不为1的等比数列.(1)求证:数列{1an}是等差数列(2)求c的值(3)设bn=an•an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,证已知Sn是正项数列{an}的前n项和,且Sn是14与(an+1)2的等比中项.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若bn=an2n,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)若bn≤14m2-m-12对一切正整数n恒成立,数列{an}的通项公式an=ncosnπ2,前n项和为Sn,则S2012=______.(a>b>0)设f(x)是定义在R上不为零的函数,对任意x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1=12,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和的取值范围是______.数列12•5,15•8,18•11…1(3n-1)(3n+2),…的前n项和Sn为()A.n3n+2B.n6n+4C.3n6n+4D.n+1n+2已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12).(Ⅰ)求Sn的表达式;(Ⅱ)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.数列{an}的通项公式an=1n+n+1,则该数列的前多少项之和等于9()A.98B.99C.96D.97设数列{an}中的前n项和Sn=14(an+1)2,且an>0.(1)求a1、a2;(2)求{an}的通项;(3)令bn=20-an,求数列{bn}的前多少项和最大?最大值是多少?已知数列{an}满足:a1=14,2an+1=a2n+2an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[1a1+2+1a2+2+…+1a2013+2]的值等于______.已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3,a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)数列{bn}满足bn=anan+1+an+1an,求数列{bn}的前n项和Sn;(Ⅲ)设cn=2n(an+1n-λ),若利用等比数列的前n项和公式的推导方法,计算Sn=32+54+78+…+2n+12n=______.已知等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+a2+a3=21,Sn为{an}的前n项和,(Ⅰ)求通项an及Sn;(Ⅱ)设{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.数列{an}的通项公式an=ncosnπ2,其前项和为Sn,则S2013等于()A.1006B.2012C.503D.0已知数列{an}的前n项和是Sn,且2Sn+an=1(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;(Ⅱ)记bn=10+log9an,求{bn}的前n项和Tn的最大值及相应的n值.
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题300
设{an}为等比数列,a1=1,a2=3.(1)求最小的自然数n,使an≥2007;(2)求和:T2n=1a1-2a2+3a3-…-2na2n.已知{an}是等差数列,其中a1=25,前四项和S4=82.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=an2n,①求数列{bn}的前n项之和Tn.②14是不是数列{bn}中的项,如果是,求出它是第几项;如已知数列21×3,23×5,25×7,…,2(2n-1)(2n+1),…的前n项和为Sn.(Ⅰ)计算S1,S2,S3,S4;(Ⅱ)根据(Ⅰ)所得到的计算结果,猜想Sn的表达式,不必证明.定义nx1+x2+…xn为n个正数x1,x2,…,xn的“平均倒数”.若正项数列{an}的前n项的“平均倒数”为12n+1,则数列{an}的通项公式为an=()A.2n+1B.2n-1C.4n-1D.4n+1设数列{an}前n项和Sn,且Sn=2an-2,令bn=log2an(I)试求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=bnan,求证数列{cn}的前n项和Tn<2.(Ⅲ)对任意m∈N*,将数列{2bn}中落入区间(am,a2m)内的项已知数列{an},Sn是其前n项和,且an=7Sn-1+2(n≥2),a1=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1log2an•log2an+1,Tn是数列{bn}的前n项和,求T10的值.设数列{an}前n项和Sn,且Sn=2an-2,n∈N+.(Ⅰ)试求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=nan,求数列{cn}的前n项和Tn.设各项均为正数的等比数列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40.设bn=log2an.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若c1=1,cn+1=cn+bnan,求证:cn<3.数列{an}的前几项Sn=n2,数列{bn}为等比数列,且b2=3,b5=81.(1)求a2、a3(2)求数列{an}和{bn}的通项公式(3)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.设函数f(x)=xm+ax的导数f'(x)=2x+3,则数列{1f(n)+2}(n∈N*)的前n项和是()A.2nn+1B.n2(n+2)C.n-1n+1D.2(n+1)n+2设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知S7=63,a4+a5+a6=33,(1)写出数列{an}的通项公式;(2)求数列bn=2an+n,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)求证:1S1+1S2+1S3+…+1Sn<34数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,且2Sn=(n+1)an,n∈N*.(I)求{an}的通项公式和Sn;(II)设bn=a2n,求{bn}的前n项和.已知各项均正的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=12(an2+an)(1)求{an}的通项公式(2)设数列bn=1anan+2,求数列{bn}的前n项的和Tn.已知数列{an),其中a2=6,an+1+an-1an+1-an+1=n(1)求a1、a3、a4;(2)求数列{an}通项公式;(3)设数列{bn}为等差数列,其中bn=ann+c(c为不为零的常数),若Sn=b1+b2+…+bn,求1S设f(x)=4x4x+2,利用倒序相加法(课本中推导等差数列前n项和的方法),可求得f(12015)+f(22015)+f(32015)+…f(20142015)的值为.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn-1+1,(n∈N,n≥2),①求数列{an}的通项公式;②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;③设已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=-n2+9n,n∈N+.(1)求{an}的通项;(2)设Tn=|a1|+|a2|+…|an|,求Tn.在等比数列{an}中,其前n项的和为Sn,且a1=1,9S3=S6,则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158已知函数f(x)=ex+x2-x.(e=2.71828…为自然对数的底数)(Ⅰ)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;(Ⅲ)记λ(n)=12+13+14+…+1n,求证:e+设数列an的前n项的和为Sn,a1=32,Sn=2an+1-3.(1)求a2,a3;(2)求数列an的通项公式;(3)设bn=(2log32an+1)•an,求数列bn的前n项的和Tn.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1an•an+1,求数列{bn}的前10项和.已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,当n∈N+时,证明:(1+12)(1+122已知各项为正数的数列{an}的前n项和为{Sn},首项为a1,且2,an,Sn成等差数列,(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=log2an,cn=bnan,求数列{cn}的前n项和Tn.已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且满足S2=4,S5=25,数列{bn}满足bn=1an-an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+当n∈N*时,Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n,(Ⅰ)求S1,S2,T1,T2;(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.已知f(x)=(1+mx)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013(x∈R)(1)若m=2π∫1-1(sinx+1-x2)dx,求m、a0及a1的值;(2)若离散型随机变量X~B(4,12)且m=EX时,令bn=(-1)nnan,求数列{bn}的前数列{an}的通项公式为an=n+2n(n=1,2,3,…),则{an}的前n项和Sn=______.已知函数f(x)=ln(1+x)+ax,(a∈R),(e=2.718281828…)(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间及极值;(2)令g(x)=(1-a)x,当x∈[e-1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范若Sn=11•2+12•3+13•4…+1n•(n+1)(n∈N*),则S10等于()A.89B.910C.1011D.1112已知等差数列{an}的前三项为3x-1,2x+6,33-x(x∈R).(1)求通项公式an;(2)求当n为何值时,前n项和Sn最大.(3)令bn=an•2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}中,a4=14,前10项和S10=185.(1)求an;(2)将{an}中的第21项,第22项,…,第2n项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n项和Tn.已知数列{2n-1•an}的前n项和Sn=9-6n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n(3-log2|an|3),设数列{1bn}的前n项和为Tn,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn>m27成立.若数列{an)的前n项和为Sn,若an=1n(n+1),则S2012等于()A.1B.20112012C.20112013D.20122013已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为Sn,则S2009的值为()A.20072008B.20082009C.20092010D.20102011一个数列,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么这个数列的前2求数列10,2012,3014,…,10n+12n-1的前n项和Sn.已知点(1,3)、(an,an+1)(n∈N*)都在函数f(x)=px+2(p为常数)的图象上,a1=1,数列{bn}满足:bn=an+1n(n+1)(n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(II)求数列{bn}的前n项和Sn.设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn且an=22Sn-2;(Ⅰ)写出数列{an}的前三项;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式,并写出推证过程;(Ⅲ)令bn=4an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6(Ⅰ)求数列{an}的通项公式.(Ⅱ)设bn=1an,求数列{bn}的前n项和.在数列{an}中,对于任意的正整数n都有a1+a2+…+an=3n-1,则{an2}的前n项和为()A.9n-1B.9n-12C.9n-14D.49已知等差数列{an}的首项为4,公差为4,其前n项和为Sn,则数列{1Sn}的前n项和为()A.n2(n+1)B.12n(n+1)C.2n(n+1)D.2nn+1已知等比数列{an},其前n项和为Sn,且a1+a3=5,a2+a4=10.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=1+log4an,求数列{1bnbn+1}的前n项和.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,b4=54,又a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3.(1)求数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式;(2)设Un=b1+b3+b5+…+b2n-1,其中n=1,2,…已知点集L={(x,y)|y=m•n},其中m=(2x-b,1),n=(1,1+b),又知点列Pn(an,bn)∈L,P1为L与y轴的交点.等差数列{an}的公差为1,n∈N*.(Ⅰ)求Pn(an,bn);(Ⅱ)若f(n)=an,n=2k-1bn已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=17,S10=100.(I)求数列{an}的通项公式;(II)若数列{bn}满足bn=ancos(nπ)+2n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和.(文科做)已知{an}的前n项和Sn=n2-n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于()A.91B.65C.61D.56若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=14an+1(n≥1),则an=______,limn→∞(a1+a2+a3+…+an)的值是______.已知yn=2logaxn(a>0且a≠1,n∈N*),已知y4=17,y7=11.(1)求证:数列{yn}是等差数列;(2)数列{yn}的通项公式;(3)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值为多少?在等比数列{an}中,已知a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1•b3•b5=0.(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与an的大小.已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-2)(3n+1),…,(1)计算S1,S2,S3,S4;(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是an和an+1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6=______.等比数列{an}的各项均为正数,且a1+6a2=1,a22=9a1•a5,.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设a1•a2•a3…an=31bn,求数列{bn}的前n项和.已知数列{an}的前项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N,令bn=an+1-2an,且a1=1.(1)求证数列{bn}是等比数列;(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2且n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{an}的前n项之和Sn,求Sn,并证明:Sn2n>2n-3.已知函数f(x)=x3x+1,数列an满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn.已知数列{an}是公差为正数的等差数列,且a1+a2=1,a2•a3=10,那么数列{an}的前5项的和S5=______.已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=2-2an(n∈N*).(1)求1T1,1T2,1T3,并证明1Tn-1Tn-1=12(n≥2);(2)设bn=(1-an)(1-an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.已知在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1=1且4Sn=an•an+1+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an•3n-1,数列{bn}的前n项和为Tn.已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)设数列{1anan+2}的前n项和为Sn,不等式Sn>13log已知数列{an}中,a1=a,a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,且2Sn=n(3a1+an),n∈N*.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)若bn=2(n=1)8an+1•an+2(n≥2)Tn是数列{bn}的前n项和,已知数列{an}为等差数列,公差为d,{bn}为等比数列,公比为q,且d=q=2,b3+1=a10=5,设cn=anbn.(1)求数列{cn}的通项公式;(2)设数列{cn}的前n项和为Sn,(3)(理)求limn→∞nbnS已知数列{an}的通项公式为an=-2n+11,其前n项的和为Sn(n∈N*),则当Sn取最大值时,n=______.已知函数f(x)=kx+b(k≠0),f(10)=20,又f(1),f(3),f(9)成等比数列.(I)求函数f(x)的解析式;(II)设an=2f(n)+2n,求数列{an}的前n项和Sn.已知数列{an}满足:a1=13,且对任意的正整数m、n,都有am+n=am•an,若数列{an}的前n项和为Sn,则limn→∞Sn等于()A.12B.23C.32D.2在等差数列{an}中,a1=8,a4=2,(1)求数列{an}的通项;(2)设bn=1n(12-an)(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.等差数列{an}中,a2+a3+a4=15,a5=9.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=3an+12,求数列{an+12×bn}的前n项和Sn.已知数列{an}及其前n项和Sn满足:a1=3,Sn=2Sn-1+2n(n≥2,n∈N*).(1)证明:设bn=Sn2n,{bn}是等差数列;(2)求Sn及an.已知数列{an}的通项公式an=n2cosnπ,Sn为它的前n项的和,则s20102011=()A.1005B.1006C.2009D.2010已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的前项和.数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=S3.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设cn=1bnbn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:13≤Tn<12.已知数列{an}是递增数列,且满足a3•a5=16,a2+a6=10.(1)若{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)对于(1)中{an},令bn=(an+7)•2n3,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}满足an+1=2anan+2(n∈N*),a2011=12011.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*),求证:c1+c2+…+cn<n+1.已知数列{an}的各项均为正值,a1=1,对任意n∈N*,an+12-1=4an(an+1),bn=log2(an+1)都成立.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)令cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn;(3)当k>已知数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在函数f(x)=x+2的图象上(n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(II)在数列{an}中依次取出第1项,第2项,第4项,第8项,…,第2n-1项,按取出定义集合运算:A⊙B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},设集合A={-1,0,1},B={sinα,cosα},则集合A⊙B的所有元素之和为()A.1B.0C.-1D.sinα+cosα在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列{an}的通项an;(2)令bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列;(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=12.(Ⅰ)求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∉N)的值;(Ⅱ)数列{an}满足:an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1),数列{an}是等差数列吗?请给予证明;(Ⅲ)令bn=已知等差数列{an}的公差d>0,其前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,1+a3成等比数列.(I)求{an}的通项公式;(II)记bn=1anan+1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.数列{an},其中an为1+2+3+…+n的末位数字,Sn是数列{an}的前n项之和,求S2003的值.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令cn=(3n+1)•an2(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.已知函数f(x)=x3x+1,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*)(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)记Sn(x)=xa1+x2a2+…+xnan,求Sn(x).数列{an}满足:an+2=an+1-an(n∈N*),且a2=1,若数列的前2012项之和为2013,则前2013项的和等于______.已知函数f(x)=2xx+1(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.(2)若数列{an}满足a1=23,an+1=f(an),bn=1an-1,n∈N+,证明数列{bn}是等比数列,并求出数列{bn}、{an}的通项公Sn表示等差数列{an}的前n项的和,且S4=S9,a1=-12(1)求数列的通项an及Sn;(2)求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|已知数列{an}是首项为a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是其前项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列.(1)求公比q的值;(2)设An=S1+S2+S3+…+Sn,求An.数列{an}是首项为0的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设cn=an+bn,数列{cn}的前三项依次为1,1,2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)求数列{cn}的前n项的和.函数f(x)=x3,在等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn=f(3an+1),令bn=anSn,数列{bn}的前n项和为Tn(1)求{an}的通项公式和Sn(2)求证Tn<13.若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,则S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列S1,S2,S4的公比;(2)若S2=4,求{an}的通项公式;(3)在(2)条件下,若bn=an-14,求{|bn|}的前n项设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:1a1a2+1a2a3+…+1an-1an<14.在等差数列{an}中,a1=1,a5=9,在数列{bn}中,b1=2,且bn=2bn-1-1,(n≥2)(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设Tn=a1b1-1+a2b2-1+a3b3-1+…+anbn-1,求Tn.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,n∈N*,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式an数列{an}满足:an=3an-1+3n-1(n∈N,n≥2),其中a4=365,(1)求a1,a2,a3;(2)若{an+λ3n}为等差数列,求常数λ的值;(3)求{an}的前n项和Sn.数列{an}的前n项和记为Sn,点(n,Sn)在曲线f(x)=x2-4x上(x∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(an+5)•2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn的值.已知等差数列{an}的前n项和为sn,且s3=12,2a1,a2,a3+1成公比大于1的等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)bn=1anan+1,求{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}中,a2=3,a4+a6=18.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn+1=2bn,并且b1=a5,试求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,数列{bn}满足b1=1,b3+b7=18.且bn+1+bn-1=2bn(n≥2).(I)数列{an}和{bn}的通项公式.(II)若bn=an•cn,求数列{cn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225;等比数列{bn}满足:b3=a2+a3,b2b5=128(1)求数列{an}和{bn}的通项公式(2)记cn=an+bn求数列{cn}的前n项和为Tn.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36.(Ⅰ)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)设bn=2an+12,求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}为递增的等比数列,其中a2=9,a1+a3=30.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)的试题400
已知数列{an}中,a1=1,an+1=an2an+1(n∈N).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设:2bn=1an+1求数列{bnbn+1}的前n项的和Tn;(3)已知P=(1+b1)(1+b3)(1+b5)…(1+b2n-1),求证:Pn>2n+已知等差数列{an}各项都不相同,前3项和为18,且a1、a3、a7成等比数列(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求数列{1bn}的前n项和Tn.已知函数f(x)=-4+1x2,数列{an},点Pn(an,-1an+1)在曲线y=f(x)上(n∈N+),且a1=1,an>0.(I)求数列{an}的通项公式;(II)数列{bn}的前n项和为Tn且满足bn=an2an+12,求Tn.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n2,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记bn=an2an,求数列{bn}的前n项和Tn.已知等差数列{an}中,a1=1,前10项和S10=100;(1)求数列{an}的通项公式;(2)设log2bn=an,证明{bn}为等比数列,并求{bn}的前四项之和.(3)设cn=bn+an,求{cn}的前五项之和.设数列{an}满足an≠0,a1=1,an=(1-2n)anan-1+an-1(n≥2),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:当n≥2时,nn+1<Sn<2;(3)试探究:当n≥2时,是否有6n(n+1)(已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn-1=bn+(2n-1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式bn;(Ⅲ)若cn=an•bnn,求数列{cn}的前n项和Tn已知数列{an},满足a1=1,1an+1=1an+1,Sn是数列{anan+1}的前n项和,则S2011=______.已知数列{an},{bn}分别为等差和等比数列,且a1=1,d>0,a2=b2,a5=b3,a14=b4(n∈N*).(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{Snn}是公差为1的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若已知a1-a2+a3-a4+…+(-1)k-1ak的值等于m(m>0),试用含m的式子来表示a1+a2+a在平面直角坐标上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)…,Pn(xn,yn)…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+134的图象上,且Pn的横坐标构成以-52为首项,-1为公差的等差数列{xn}.(Ⅰ)求已知Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n×(n+1)(n∈N*)的值是20082009,则n=______.将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…每一组的第1个数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1若数列{an}中,a1=1,点(an,an+1+1)(n∈N*)在函数f(x)=2x+1的图象上,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.数列{an}满足:a1=1,且对任意的m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1a3+…+1a2011=()A.20102011B.20111006C.20112012D.20101006设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.②设bn=1anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn.若数列{an}满足an=1n(n+1),则数列{an}的前n项和Sn公式为______.设数列{an}、{bn}满足:a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}是等差数列,{bn-2}是等比数列,其中n∈N*.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn.设数列{an}是一个公差不为零的等差数列,已知它的前10项和为110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式(2)若bn=(n+1)an求数列{1bn}的前n项和Tn.已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上.(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足b1=3,令bn+1=abn,设数列{bn}的前n项和为Tn,求数列{Tn-6已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f'(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(I)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;(II)令bn=2an,其数列{an}的通项公式an=n+1-n(n∈N*),若前n项的和Sn=10,则项数n为()A.10B.11C.120D.121已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=-3,S5=-25,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前20项和T20.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3;(1)求{an}的公差d和{bn}的公比q;(2)设cn=an+bn+2,求数列{cn}的通项公式cn及前n项和Sn.已知数列{an}是首项a1=1的等比数列,其前n项和Sn中,S3、S4、S2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2log12|an|+1,求数列{bn}的前n项和为Tn;(3)求满足(1-1T2)(1-设{a}是正数数列,其前n项和Sn满足Sn=14(an-1)(an+3).(1)求a1的值;求数列{an}的通项公式;(2)对于数列{bn},令bn=1sn,Tn是数列{bn}的前n项和,求limn→∞Tn.数列{an}中,a1=3,nan+1-(n+1)an=2n(n+1)(1)求证{ann}为等差数列,并求通项公式an;(2)设bn=(an-2n2)•3n,求数列{bn}的前n项和Sn.已知递增的等比数列{an}的前三项之积是64,且a2-1,a3-3,a4-9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Sn.数列{an}满足a1=1,an+3=an+3,an+2≥an+2(n∈N*).(1)求a7,a5,a3,a6;(2)求数列{an}的通项公式an;(3)求证:1a12+1a22+1a32+…+1an2<2.设数列{an}的前n项和Sn,令Tn=S1+S2+…+Snn,称Tn为数列a1,a2…an的“理想数”,已知数a1,a2…a501的“理想数”为2008,那么数列3,a1,a2…a501的“理想数”为()A.2006B.2007C.2008已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1,且an=34an-1+14bn-1+1bn=14an-1+34bn-1+1(n≥2)(I)令cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式;(II)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn.已知数列{an}的前n项和为sn,满足Sn=2an-2n(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列{bnan+2}的前n项和,求Tn(3)(只理科作)接(2)中的Tn,已知数列{an}的前n项和是sn=n2-2n+2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=anxn(x∈R且x≠0).求数列{bn}前n项和的公式.已知f(x)=cos2x+23sinxcosx,(x∈R)(1)求f(x)的最大值M和最小正周期T;(2)求f(x)的单调减区间;(3)20个互不相等的正数an满足f(an)=M,且an<20π(n=1,2,…,20),试求:a1+a2+…设数列{an}前n项和Sn=n(an+1)2,n∈N*且a2=a,(1)求数列{an}的通项公式an.(2)若a=3,Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,求T100的值.已知函数f(x)=ax+bcx2+1(a,b,c为常数,a≠0).(Ⅰ)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上,求an的前n项和Sn;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a3=7,S4=24,p,已知数列{an}满足a1=22,an+1-an=2n,则数列{an}的通项公式为______,ann的最小值为______.数列1,1+2,1+2+2,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和是Sn,那么S9的值是______.已知数列{an}的前n项之和Sn=n2-4n,求数列{|an|}的前n项和Tn.已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;(Ⅲ)设dn=1an+1an+2,求数列{已知数列{an}满足an=5an-1-2an-1-5(n≥2,n∈N*),且{an}前2014项的和为403,则数列{an•an+1}的前2014项的和为()A.-4B.-2C.2D.4已知数列{an}满足a1=1,an=12an-1+1(n≥2).(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列{an-2}是等比数列;(3)求an,并求{an}前n项和Sn.已知Sn为数列{an}的前项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=1,2,3…(Ⅰ)求证:数列{an-2n}为等比数列;(Ⅱ)设bn=an•(-1)n,求数{bn}的n项和Pn;(Ⅲ)设cn=1an-n,数列{cn}的n项和为Tn,求证已知函数f(x)=x2+bx,若直线y=bx+1与直线x-y+2=0平行,则数列{1f(n)}的前n项和为Sn,则S2010的值为______.一个数字生成器,生成规则如下:第1次生成一个数x,以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数,一个是-x,另一个是x+3.设第n次生成的数的个数为an,则数列{an}已知Sn=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则Sn=______.数列{an}中,an=1n(n+1)(n+2),Sn为{an}的前n项和,则S1+S2+…+S10的值为()A.5524B.124C.552D.6524已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an≠0,anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an,n∈N*(1)求证Sn=2n-1an(2)设bn=anan+1求数列{bn}的前n项和Tn.已知数列{an}有以下的特征:a1=1,a1,a2,…,a5是公差为1的等差数列;a5,a6,…,a10是公差为d的等差数列;a10,a11,…,a15是公差为d2的等差数列;…;a5n,a5n+1,a5n+2,…已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=3,且an+1=2Sn+3,数列{bn}为等差数列,且公差d>0,b1+b2+b3=15.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若a13+b1,a23+b2,a33+b3成等比数列,求数列{1bnb设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,对任意的实数x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1=12,an=f(n),(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的最小值是()A.34B.2C.12D.1从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机、收割一片小麦,若这些收割机同时到达,则24h可以收割完毕,但它们由于距离不同,是每隔一段相同时间顺序投入工作的,如果第一台已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1+cos2nπ2)an+sin2nπ2,n∈N*.(1)求a2,a3,a4,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=a2na2n-1,Sn=b1+b2+…+bn,求证:Sn≤n+53.已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-nan,求数列{bn}的前n项和Sn.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)若数列首项为a1=32,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k的值;(2)若Sn=n2,求通项an;(3)求所有无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k数列{an}满足an=n(n+1)2(n∈N*),则1a1+1a2+…+1a2013等于______.对于k∈N*,g(k)表示k的最大奇数因子,如:g(3)=3,g(20)=5,设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n),则Sn=______.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知a3=11,S9=153,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an,证明:{bn}是等比数列,并求其前n项和An.(3)设cn=1anan+1,求其前n项和Bn.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知(a2-1)3+2011(a2-1)=sin2011π3,(a2010-1)3+2011(a2010-1)=cos2011π6,则S2011等于()A.4022B.0C.2011D.20113已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an,n为奇数an+2,n为偶数,且a1+a3+a5+…+a2k-1=3049,则正整数k的值为()A.11B.8C.10D.9在等差数列{an}中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn+2Sn=n+4n,n=1,2,3,…(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记bn=1Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.设数列{an}的首项a1=a≠14,且an+1=12an(n为偶数)an+14(n为奇数),n∈N*,记bn=a2n-1-14,cn=sinn|sinn|bn,n∈N*.(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论已知数列|an|的前n项和为Sn,若a1=12,Sn=n2an-n(n-1)(n∈N+),则S5=______.设函数f(x)=(12)x,数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(12)an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1,试比较Sn与43Tn的大求和:Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2.设各项为正的数列{an},其前n项和为Sn,并且对所有正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列{an}的前二项;(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(3)令b已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-2x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn是6Sn与8n的等差中项.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设cn=bn+8n+3,数列已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=18(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列;(2)若bn=12an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.定义一种运算△:n△m=n•am(m,n∈N,a≠0)(1)若数列{an}(n∈N*)满足an=n△m,当m=2时,求证:数列{an}为等差数列;(2)设数列{cn}(n∈N*)的通项满足cn=n△(n-1),试求数列{cn}的前n项和数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设cn=anbn(n∈\user2N*),且数列{cn}的前三项依次为1,4,12,(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)若等差数列{a设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=2n(an+1)(an+1+1),Tn=b1+b2+…+bn,求证:13≤Tn<1在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1(n∈N*,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2an,1b3b4+1b4b5+…+1bnbn+1<m对于任意的n∈N*,且n≥3恒成立,求m的取值范围已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-n+2nan(n∈N*).(I)求证:an+1an=n+12n;(II)求an及Sn;(III)求证:a21+a22+a23+…+a2n<4964.已知函数f(x)=7x+5x+1,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1)(1)求证:数列{1an}是等差数列;(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn;(3)是否存在自已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+2),数列{bn}的前n项和为Tn,且有Tn+1-bn+1Tn+bn=1,b1=3.(1)求数列{an},{bn}的通项an,bn;(2)设cn=anbn,试判断数列{cn}的单调性,并证明你数列{an}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3),其前n项和为Sn,(1)求Sn;(2)bn=S3nn•4n,求数列{bn}的前n项和Tn.数列{an}中,a1=1,Sn是{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+n,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=1Sn+1-1,求数列{bn}的通项公式;(III)若cn=n•2an+1,求数列{cn}的前n项和Tn.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=2n;{bn}为首项是2的等差数列,且b3•S5=372.(1)求{bn}的通项公式;(2)设{bn}的前n项和为Tn,求1T1+1T2+…1Tn的值.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N+).(1)证明数列{an-n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足:bn=n2an-2n(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn;(3)比较S设数列满足a1=2,an+1-an=3•22n-1(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn.数列{an}中,Sn为前n项和,n(an+1-an)=an且a3=π,则tanS4=()A.-33B.3C.-3D.33对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an(n∈N*).对正整数k,规定{△kan}为{an}的k阶差分数列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an).(Ⅰ)若数列{an}的设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)试通过研究函数g(x)=ln(1+x)x(x>0)的单调性证明:当n>m>0时,(1+n)m<(1+m)n;(Ⅲ)证明:当n>2013,且x1,x2,x3,…,已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f(12)=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy).又数列{an}满足,a1=12,an+1=2an1+an2.(I)证明:f(x)在(-1,1)上是奇函数(II)求等差数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=S2b2.(1)求an与bn;(2)求数列{1Sn}的前n项和.设数列{an}中,若an+1=an+an+2,(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”.(1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;(2)在“凸数列”{an}中,求已知等比数列{an}的公比大于1,Sn是数列{an}的前n项和,S3=39,且a1,23a2,13a3依次成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(II)若数列{bn}满足:b1=3,bn=an(1a1+1a2+…+1an-1已知数列{an}为首项a1≠0,公差为d≠0的等差数列,求Sn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1.定义“和常数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项和都为同一个常数,那么这个数列叫做常数列,这个常数叫做该数列的和常.已知数列{an}是和常数列,且a1=2,和常为5,那已知数列{an}的前n项和为Tn=32n2-12n,且an+2+3log4bn=0(n∈N*)(I)求{bn}的通项公式;(II)数列{cn}满足cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn;(III)若cn≤14m2+m-1对一切正整数n恒等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=20,S3=36,则1S1-1+1S2-1+1S3-1+…+1S15-1=______.已知数列{an}的首项为a1=3,点(an,an+1)在直线3x-y=0(n∈N*)上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求f'(1)的值,并化简.(Ⅲ)若cn=log3an3-2(n∈N*),证明设数列{an}满足a1+2a2=3,且对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都有PnPn+1=(1,2),则{an}的前n项和Sn为()A.n(n-43)B.n(n-34)C.n(n-23)D.n(n-12)已知函数f(x)=(x-2)2,f′(x)是函数f(x)的导函数,设a1=3,an+1=an-f(an)f′(an)(I)证明:数列{an-2}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(II)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和求和:Sn=1+11+111+…+11…1n个.在数列{an}中,a1=1,an+1=1-14an,bn=22an-1,其中n∈N*.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(2)设cn=2n+1an,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=9,a2+a4+a6=21(n∈N﹡).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2n•an,求数列{bn}的前n项和Sn.已知数列{an}满足2anan+2an+1(n∈N*),且a1=11006.(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列,并求通项an;(Ⅱ)若bn=2-2010anan,且cn=bn•(12)n(n∈N*),求和Tn=c1+c2+…+cn;(Ⅲ)比较Tn与5n2已知Sn为数列{an}的前n项和.Sn=n2(1)求数列{an}的通项an;(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.已知数列{an}中a1=12,前n项和2Sn=Sn-1-(12)n-1+2(n≥2,n∈N).(Ⅰ)令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令cn=n+1nan,求数列{cn}的前n项和Tn.