基本不等式及其应用的试题列表
基本不等式及其应用的试题100
函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m>0且n>0)上,则1m+4n的最小值是______.探究函数f(x)=x+4x,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的x的值,列表如下:x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.1024.244.355.87.57…请三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈,底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2,侧面的造价为80元/m2,屋顶造价为1120元.如果墙高3m,且不计猪圈背面的费用,问怎样设计为了保护一件珍贵文物,博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成:①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且若x>0,则2-x-4x的最大值是______.如图,单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点,单位圆与y轴的正半轴交与点A,与钝角α的终边OB交于点B(xB,yB),设∠BAO=β.(1)用β表示α;(2)如果sinβ=45,求点B(xB,yB)的坐标已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=a4+a82,Q=a3•a9,则P与Q的大小关系为()A.P>QB.P<QC.P=QD.无法确定设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则2a+3b的最小值为______.定义f(M)=(m,n,p),其中M是△ABC内一点,m,n,p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,已知在△ABC中,AB•AC=23,∠BAC=30°,f(M)=(12,x,y),则1x+4y的最小值是______.若向量a=(x-2,3),b=(6,y+1)相互垂直,则4x+2y的最小值为______.已知a>0,b>0,2a+b=16,则ab的最大值为______.若x,y∈R且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7已知实数p、q、r满足r2=p+q,r(r-1)=p•q且0<p<1<q<2,则实数r的取值范围是______.在等式“1=1()+9()”的两个括号内各填入一个正整数,使它们的和最小,则填入的两个数是______.已知x,y∈R+,且x+4y=1,则x•y的最大值为______.设x,y满足约束条3x-y-2≤0x-y≥0x≥0,y≥0若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值1,则1a+1b的最小值为()A.256B.83C.113D.4已知x,y满足x≥1x+y≤4ax+by+c≤0且z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则b+ca______.选修4-5;不等式选讲(Ⅰ)解不等式:|2x-1|-|x-2|<0;(Ⅱ)设a>0为常数,x,y,z∈R,x+y+z=a,x2+y2+z2=a22,求z的取值范围.已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x),若f-1(a)+f-1(b)=4,则1a+1b的最小值为()A.1B.12C.13D.14某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?如果对于任意的正实数x,不等式x+ax≥1恒成立,则a的取值范围是______.已知M是△ABC内的一点,且AB•AC=23,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为12,x,y,则1x+4y的最小值是()A.20B.18C.16D.9已知正数x、y满足等式x+y-2xy+4=0,则()A.xy的最大值是4,且x+y的最小值是4B.xy的最小值是4,且x+y的最大值是4C.xy的最大值是4,且x+y的最大值是4D.xy的最小值是4,且x+y的最x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值为______设a,b为正数,且a+b=1,则12a+1b的最小值是______.当x∈R+时,下列函数中,最小值为2的是()A.y=x2-2x+4B.y=x+16xC.y=x2+2+1x2+2D.y=x+1x已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时x,y的值分别为()A.5,5B.10,52C.10,5D.10,10已知函数f(x)=x+px-1(p为常数且p>0),若f(x)在区间(1,+∞)的最小值为4,则实数p的值为______.已知a<0,点A(a+1a,a-1a),点B(1,0),则|AB|的最小值为()A.9B.5C.3D.1(文)已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=324.(1)求证:tgA•tgB=19;(2)若|AB|=6,当∠C最大时,求△ABC的面积.(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|1-aba-b|>1;(2)求实数λ的取值范围,使不等式|1-abλaλ-b|>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;(3)已知|a|<1,若|a+b1+ab|<1,求b的取值范当k∈R,k为定值时,函数f(x)=x2+k+1x2+k的最小值为______.已知x>1,y>1,且log3x•log3y=1,则xy的最小值是______.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是______.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是______.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1ax+b(a>0)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢设x>0,y>0,且1x+12y=4,z=2log4x+log2y,则z的最小值是()A.-4B.-3C.-log26D.2log238设a=x2-xy+y2,b=pxy,c=x+y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,则实数p的取值范围是______.设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+a2x+7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为______.已知x,y∈R+,2x-3=(12)y,若1x+my,(m>0)的最小值为3,则m等于()A.4B.3C.22D.2实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则1Smax+1Smin=______.若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A.522B.52C.1522D.152若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]设a+b=2,b>0,则当a=______时,12|a|+|a|b取得最小值.设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为______.在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为______.已知x,y都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数u=44-x2+99-y2的最小值是()A.85B.2411C.127D.125若x>2,则f(x)=x2-4x+52x-4的最小值为______.若直线ax+by+1=0(a、b>0)过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心,则1a+4b的最小值为()A.8B.12C.16D.20已知a>0,b>0,且2a+b=4,则1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4点p(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y有()A.最大值8B.最小值8C.最小值6D.最大值6设x>1,则x+4x-1的最小值是()A.4B.5C.6D.7如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意x,都有N≤f(x)≤M(M,N为常数)成立,那么称f(x)为可界定函数,M为上界值,N为下界值.设上界值中的最小值为m,下界值中的最大值为n.给出函某工厂生产某种产品,已知该产品的产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24200-15x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是______.函数y=8-x2-2x(x>0)的最大值是()A.6B.8C.10D.18已知a,b∈R+且1a+1b=1,则a+b的最小值为()A.2B.8C.4D.1学校食堂定期向精英米业以每吨1500元的价格购买大米,每次购买大米需支付运输费用100元,已知食堂每天需食用大米1吨,储存大米的费用为每吨每天2元,假设食堂每次均在用完大(理)二项式(x3+1x2)n的展开式中,只有第6项的系数最大,则该展开式中的常数项为______;(文)已知x>0,y>0,x+y=1,求lgx+lgy的最大值是______.现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛,已知该船航行的最大速度为35海里/小时,上海至青岛的航行距离约为500海里,每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小若直线2ax-by+2=0(a,b>0),始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则1a+1b的最小值是()A.4设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12设正数x、y满足x2+y=12,则1x+2y的最小值为______.已知x>1,则函数f(x)=6x+24x-1的最小值是______.下列函数中,值域为(0,+∞)的是()A.y=log2(x+1)B.y=(12)x-1C.y=x+1x(x≠0)D.y=x2-x+1若9x-2•3x+a>0恒成立,则实数a的取值范围是______.设x,y满足线性约束条件x-2y+3≥02x-3y+4≤0y≥0,若目标函数z=ax+by(其中a>0,b>0)的最大值为3,则1a+2b的最小值为______.已知x+3y-1=0,则关于2x+8y的说法正确的是()A.有最大值8B.有最小值22C.有最小值8D.有最大值22a=(m,1),b=(1-n,1)(其中m、n为正数),若a∥b,则1m+2n的最小值是______、已知函数f(x)=|1-1x|,(x>0).(1)当0<a<b且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;(2)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值;若不存在已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5若存在两项am、an使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为______.若实数x,y,z,t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000,则xy+zt的最小值为______.设a,b∈R,a2+2b2=6,则ba-3的最大值是______.已知实数a、b满足等式(12)a=(13)b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b,其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个已知实数a,b满足a+2b=1,则2a+4b的最小值是()A.2B.22C.4D.42某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货量的一半来计算,每件2元若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=9,则2a+b+c的最小值()A.3B.4C.23D.6设0<a<b,且f(x)=1+1+xx,则下列大小关系成立的是()A.f(a)<f(a+b2)<f(ab)B.f(a+b2)<f(b)<f(ab)C.fab<f(a+b2)<f(a)D.f(b)<f(a+b2)<f(ab)已知函数f(x)=ax2+1x+c(a>0,c∈R)为奇函数,当x>0时,f(x)的最小值为2.(I)求函数的解析式(Ⅱ)若a+b=1,a、b∈R+,求证:f(a)f(b)≥254(Ⅲ)若g(x)=f(x)-x,n∈N*且n≥2,求证:n-12n≤设minA表示数集A中的最小数;设maxA表示数集A中的最大数.(1)若a,b>0,h=min{a,ba2+b2},求证:h≤22;(2)若H=max{1a,a2+b2ab,1b},求H的最小值.甲乙两厂每次同时去同一油站购油,甲厂每次购油一万元,而乙每次购油一吨,由于市场变化,每次油的价格都不相同.甲乙两厂都购油两次,设两次油的价格分别为a万元/吨和b万元/利民工厂生产的某种产品,当年产量在150T至250T之内,当年生产的总成本y(万元)与年产量x(T)之间的关系可近似地表示为y=x210-30x+4000.(I)当年产量为多少吨时,每吨的平均成本周长为2的直角三角形的面积的最大值为______.已知a>b>0,则下列不等式成立的是()A.a>a+b2>ab>bB.a>b>a+b2>abC.a>a+b2>b>abD.a>ab>a+b2>b若a>b>1,P=lga•lgb,Q=12(lga+lgb),R=lg(a+b2),则()A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m,则车厢的最大容积是()A.(38-373)m3B.16m3C.42m3D.14m3已知x>0,y>0,且1x+9y=1,则x+y的最小值是()A.4B.12C.16D.18做面积为1平方米,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管,最合理(够用,又浪费最少)的是()A.4.6米B.4.8米C.5米D.5.2米若a>0,b>0,a,b的等差中项是12,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值为()A.2B.3C.4D.5已知x>-1,求y=x2-3x+1x+1的最小值为______.对于使-x2+2x≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做-x2+2x的上确界,若a,b∈R+,且a+b=1,则-12a-2b的上确界为()A.92B.-92C.-14D.-4已知实数x,y满足y-x+1≤0,则(x+1)2+(y+1)2的最小值是()A.12B.22C.2D.2设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,1x+1y的最大值为______.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+1n的最小值为()A.23B.53C.256D.不存在若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1•b2的取值范围是______.已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.12
基本不等式及其应用的试题200
已知函数f(x)=kx+b的图象与x,y轴分别相交于点A(-2,0),B(0,2),函数g(x)=x2-x-6.(1)求k,b的值;(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数g(x)+1f(x)的最小值.下列命题中(1)常数列既是等差数列又是等比数列;(2)a∈(0,π2),则aina+1sina有最小值2(3)若数列{an}前n项和Sn=Pn,则无论P取何值时{an}一定不是等比数列.(4)在△ABC中,B=60°设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是()A.a-c>b-dB.ac>bdC.a+c>b+dD.a+d>b+c已知a,b都是正数,下列命题正确的是()A.21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22B.a2+b22≤ab≤a+b2≤21a+1bC.ab≤21a+1b≤a+b2≤a2+b22D.21a+1b≤ab≤a2+b22≤a+b2已知函数f(x)=2x+1,将函数y=f-1(x)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,就得到y=g(x)的图象.(1)写出y=g(x)的解析式;(2)求出F(x)=g(x2)-f-1(x)的最小值及取得最小值x,y∈(0,+∞),x+2y=1,则1x+1y的最小值是______.设a>0,b>0,若a+b=ab-3,则aba+b的取值范围是()A.[2,+∞)B.[3,53)C.(1,32]D.[2,52]若a2+b2=4,则a+b的最大值是______.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是()A.45B.54C.34D.43有一批材料可以围成36m的围墙,现用此材料围成一块矩形场地且中间用同样材料隔成两块矩形,试求所围矩形面积的最大值.若x>1,则x+4x-1的最小值为______.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则2a+3b的最小值为()A.256B.83C.113D.4已知m、n∈(0,+∞),m+n=1,1m+bn(b>0)的最小值恰好为4,则曲线f(x)=ax2-bx在点(1,0)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.x-2y-1=0C.3x-2y+3=0D.4x-3y+1=0已知点A(m,n)在直线x+2y-2=0上,则2m+4n的最小值为______.把总长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是______m2.设实数x,y满足x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0,则yx的最大值是______.若log2x+log2y≥4,则x+y的最小值为()A.8B.42C.2D.4设a>0,b>0,a2+b22=1,则a1+b2的最大值是______若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是______(写出所有正确命题的编号).①ab≤1;②a+b≤2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤1a+1b≥2.已知a,b为正实数,且1a+2b=2,若a+b-c≥0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为()A.(-∞,32+2]B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.(-∞,3+22]函数y=3x+4x+1(x>-1)的最小值是______.若对任意角θ,都有cosθa+sinθb=1,则下列不等式恒成立的是()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1若x>0,则x+2x的最小值为______.若实数x,y,m,n满足x2+y2=2,m2+n2=1,则mx+ny的最大值是()A.1B.2C.3D.2已知x+2y=1,则2x+4y的最小值为C()A.8B.6C.22D.32若x>0,y>0,且1x+9y=1,则x+y的最小值是______.已知实数m、n满足2m+n=2,其中mn>0,则1m+2n的最小值为()A.4B.6C.8D.12若x>0,f(x)=12x+3x的最小值为()A.12B.-12C.6D.-6函数f(x)=xx+1的最大值为()A.25B.12C.22D.1设a,b∈R+,a+2b=3,则1a+1b最小值是______.已知直线x+2y=2与x轴,y轴分别交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为()A.12B.2C.3D.13已知a>b>0,则a2+16b(a-b)的最小值是______.例1.a、b、c≥0,求证a3+b3+c3≥3abc.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是()A.1ab>12B.1a+1b≤1C.ab≤2D.1a2+b2≤18设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有()A.1≤ab≤a2+b22B.a2+b22<ab<1C.ab<a2+b22<1D.ab<1<a2+b22已知函数f(x)=x2-4x+52x-4(x>2),求函数的最小值.某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的面积为S的一切矩形中,其周长最小的矩形的边长是______.国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,环保节能的产品供不应求.为适应市场需求,某企业投入98万元引进环保节能生产设备,并马上投入生产.第一年需各种费用12万元,从第二年开设x,y满足约束条件2x-y+2≥08x-y-4≤0x≥0y≥0,若目标函数z=1ax+1by(a>0,b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为()A.92B.14C.29D.4已知a,b∈R+,直线bx-ay-ab=0始终平分圆(x-1)2+(y+4)2=4,则a+b的最小值为______.某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)求f(x)的值域.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元,若用x表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件0.05x元,又该厂职工工资固定支出12500元.(1)把每件产品的成本用长为8米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么窗户的最大透光面积是______平方米.若a,b∈R+,且满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围为______.如图是足球场的部分示意图,假设球门的宽AB=7m,A到边线的距离AC=30m.现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球,他观察球门的角∠APB称为视角.设P到底线的距离为P为了促进生态平衡,加快荒山绿化造林工作的进程,某地区调用N架直升飞机上升到H米高空进行大面积播种.假设每架直升飞机用匀加速度a米/秒2(0<a≤A),从地面起飞.已知飞机在上升已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.已知正数a,b满足a+b=ab,则a+b的最小值为______.已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,求c的取值范围;(3)当x>-1时安徽蔬博会期间,某投资商到和城开发区投资72万元建一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元.从第一年起每年蔬菜销售收入50万元,设f(n)表示第n年的纯利函数y=x2+5x2+4的最小值为多少?在函数y=1x的图象上,求使1x+1y取最小值的点的坐标.函数y=ex+e-x(e是自然对数的底数)的值域是______若m,n是不等于1的正整数,且log3m•log3n≥4,则m+n的最小值是()A.4B.9C.18D.43若x+2y=1,则2x+4y的最小值是______;若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2abC.1a+1b>2abD.ba+ab≥2已知正数x、y满足8x+1y=1,则x+2y的最小值是()A.18B.16C.8D.10下列命题中正确的是()A.当x>0且x≠1,lgx+1lgx≥2B.当0<x<1,x+12x≥2C.当0<θ≤π2,sinθ+2sinθ的最小值为22D.当0<x≤2时,x-1x无最大值已知点P(x,y)在经过两点A(3,0),B(1,1)的直线上,那么2x+4y的最小值是______.设a,b,c∈R+,若(a+b+c)(1a+1b+c)≥k恒成立,则k的最大值是______.若x>-3,则x+2x+3的最小值为______.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为______.若点(a,b)在直线x+3y=1上,则2a+8b的最小值为______.已知实数a,12,b成等差数列,且ab>0,则1-ab的取值范围为______.已知x>0,则y=x2+2x的最小值为______.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容已知函数f(x)=x+ax-2(x>2)的图象过点A(3,7),则此函的最小值是______.有一五边形ABCDE的地块(如图所示),其中CD,DE为围墙.其余各边界是不能动的一些体育设施.现准备在此五边形内建一栋科技楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的已知a>b≥c>0,且2a2+1ab+1a(a-b)-4ac+4c2=4,则a+b+c=______.已知f(x)=x2-52x,f(3+2sinθ)<m2+3m-2对一切θ∈R恒成立,则实数m的取值范围为______.已知x>0,y>0,且x+y=xy,则u=x+4y的取值范围是______.已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时x,y的值分别为______,______.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[-2,+∞)C.[-2,2]D.[0,+∞)过点P(2,1)作直线l分别交x,y正半轴于A,B两点.(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;(2)当|PA|•|PB|取最小值时,求直线l的方程.若x<1,则y=2x2-x+1x-1的最大值______.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1x(x≠0)B.y=1x+1(x≤1)C.y=x+4x-2(x>0)D.y=x2+4+1x2+4(x∈R)已知x,y∈R+,x+y=2,求2x+1y的最小值及相应的x,y值.若a>0,b>0,2a+3b=1,则ab的最大值为______.如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;(2)如果DE若m,n>0且(m-1)(n-1)<0,则t=logmn+lognm的取值范围______.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得h(x)=mf(x)+ng(x),那么称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+1xy的最小值是______.设x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是()A.32B.1+3C.23-2D.2-3x∈R,且x2+12x=cosθ,则实数θ的值为()A.2kπ,k∈ZB.(2k+1)π,k∈ZC.kπ,k∈ZD.kπ+π2,k∈Z在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2,b2,c2成等差数列,则cosB的最小值为______.若不等式ax2+bx+2<0的解集为{x|x<-12,或x>13},则a-ba的值为()A.56B.16C.-16D.-56如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是()A.43B.4C.9D.18已知f(x)=x2ax+b,且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4(这里a、b为常数).(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的值域.已知2x+3y=2(x>0,y>0),则xy的最小值是______.设a>0,b>0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()A.4B.2C.1D.14已知m=a+1a-2(a>2),n=(12)x2-2(x<0),则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n已知a,b,c是直角三角形的三边,其中c为斜边,若实数M使不等式1a+1b+1c≥Ma+b+c恒成立,则实数M的最大值是()A.6+23B.5+32C.6+22D.9函数f(x)=m+logax(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是()A.2πR2B.94πR2C.83πR2D.32πr2已知a,b∈R+,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是()A.ab=AGB.ab≥AGC.ab≤AGD.不能确定设函数数f(x)=2x+1x-1(x<0),则f(x)()A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数
基本不等式及其应用的试题300
若x>0,则函数y=x+4x的最小值是()A.1B.2C.4D.8双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为()A.233B.33C.2D.1下列各式中,最小值等于2的是()A.xy+yxB.x2+5x2+4C.tanθ+1tanθD.2x+2-x已知x>0,y>0,x与y的等差中项为12,且ax+1y的最小值是9,则正数a的值是()A.1B.2C.4D.8函数y=x2+8x+1(x≥0)的最大值与最小值情况是()A.有最大值为8,无最小值B.有最大值为8,最小值为4C.无最大值,有最小值为92D.无最大值,有最小值为4若实数x,y满足9x+9y=3x+1+3y+1,则u=3x+3y的取值范围是()A.3<u≤6B.0<u≤3C.0<u≤6D.u≥6在下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=3x+3-xC.y=lgx+1lgx(1<x<10)D.y=sinx+1sinx(0<x<π2)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C所对的边,C=π3.若OD=aOE+bOF,且D、E、F三点共线(该直该不过点O),则△ABC周长的最小值是()A.12B.54C.32D.94已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0所截得的弦长为4,则1a+1b的最小值为()A.14B.12C.2D.4若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为()A.12B.23C.32D.6函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为()A.6B.8C.10D.12下列函数中最小值是2的函数是()A.y=x+1xB.y=sinθ+cosθθ∈(0,π2)C.y=x+4x-2D.y=x2+3x2+2已知二次不等式的ax2+2x+b>0解集为{x|x≠-1a}且a>b,则a2+b2a-b的最小值为()A.1B.2C.2D.22下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+1xB.y=sinx+1sinx,x∈(0,π2)C.y=x2+3x2+2D.y=x+2x-1设x,y∈R+,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是()A.(-∞,lg6]B.(-∞,2lg3]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)若不等式x2+2xy≤a(2x2+y2)对于一切正数x、y恒成立,则实数a的最小值为()A.2B.2+12C.32D.1等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S2=6,则Sn+64an的最小值是()A.7B.152C.8D.172设x>0,y>0,下列不等式中等号不能成立的是()A.x+y+2xy≥4B.(x+y)(1x+1y)≥4C.(x+1x)(y+1y)≥4D.x2+3x2+2≥2函数y=log2x+logx2x的值域为()A.(-∞,-1]B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)已知a,b∈R,且ab>0,则下列不等式不正确的是()A.|a+b|>a-bB.|a+b|<|a|+|b|C.2ab≤|a+b|D.ba+ab≥2设a,b>0,且2a+b=1,则2ab-4a2-b2的最大值是()A.2+1B.2+12C.2-12D.2-1已知a>0,b>0,若不等式m3a+b-3a-1b≤0恒成立,则m的最大值为()A.4B.16C.9D.3若x>0,y>0且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64已知a,b∈R+且a+b=4,则下列各式恒成立的是()A.1ab≥12B.1a+1b≥1C.ab≥2D.1a2+b2≤14若a,b∈R+,且a+b≤4,则下面不等式中恒成立的是()A.ab≥2B.1ab≥1C.1a+b≤14D.1a+1b≥1下列结论正确的是()A.当x>0且x≠1时,lgx+1lgx≥2B.当x≥2时,x+1x的最小值为2C.当0<x≤2时,x-1x无最大值D.当x>0时,x+1x≥2设{an}是正项等差数列,{bn}是正项等比数列,且a1=b1,a2n+1=b2n+1则()A.an+1=bn+1B.an+1≥bn+1C.an+1≤bn+1D.an+1<bn+1设f(x)=|2-x2|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则ab的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,4)某工厂第一年年产量为A,第二年的年增长率为a,第三年的年增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x<a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b2已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.92D.112设x,y,z∈(0,+∞),a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则a,b,c三数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2已知a>0,b>0,且2a+3b=1,则2a+3b的最小值为()A.24B.25C.26D.27已知1a<1b<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.ba+ab>2D.|a|+|b|>|a+b|已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围()A.m≥4或m≤-2B.m≥2或m≤-4C.-4<m<2D.-2<m<4二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直,则1a+4b的最小值是()A.185B.165C.4D.245设a>b>c>0,则2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是()A.2B.4C.25D.5若a>0,b>0,则(a+b)(1a+4b)的最小值是()A.9B.8C.6D.4若a>1,则a+1a-1的最小值是()A.2B.aC.3D.2aa-1若x>0,y>0,且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是()A.lg5B.2-4lg2C.lg52D.不存在若直线ax+2by-2=0(a,b∈(0,+∞)平分圆x2+y2-4x-2y-6=0,则1a+2b的最小值是()A.42B.3+22C.2D.5若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是()A.12B.bC.2abD.a2+b2下列函数中,最小值为4的有多少个?()①y=x+4x②y=sinx+4sinx(0<x<π)③y=ex+4e-x④y=log3x+4logx3.A.4B.3C.2D.1下列函数中,最小值为4的函数是()A.y=x+1xB.y=sinx+1sinx(0<x<π)C.y=ax+4a-x(a>0,且a≠1)D.y=log3x+4logx3若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则1a+1b的最小值为()A.14B.2C.32+2D.32+22已知a>0,b>0,且y=(a+2b)x12为幂函数,则ab的最大值为()A.18B.14C.12D.34设0<a<b,则下列不等式中正确的是()A.a<b<ab<ab2B.a<ab<a+b2<bC.a<ab<b<a+b2D.ab<a<a+b2<b当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]设x,y满足条件x-y+2≥03x-y-6≤0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则3a+2b的最小值为()A.256B.83C.113D.4若lgx+lgy=2,则1x+1y的最小值为()A.120B.15C.12D.2已知实数x,y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有()A.最小值12和最大值1B.最小值34和最大值1C.最小值12和最大值34D.最小值1设a>0,b>0,则下列不等式中正确的有几个()(1)a2+1>a;(2)(a+1a)(b+1b)≥4;(3)(a+b)(1a+1b)≥4;(4)a2+9>6a;(5)a2+1+1a2+1>2.A.1B.2C.3D.4若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6已知log2(x+y)=log2x+log2y,则x+y的取值范围是()A.(0,1]B.[2,+∞)C.(0,4]D.[4,+∞)已知正实数x,y满足x+y=1,则1x+2y的最小值等于()A.5B.22C.2+32D.3+22已知x>0,y>0,3xy-x-4y=4,则xy有()A.最大值4B.最小值4C.最大值49D.最小值49已知x>0,y>0,8y+2x=1,则x+y的最小值为()A.6B.12C.18D.24下列结论正确的是()A.当x>0且x≠1时,lgx+1lgx≥2B.当0<x≤2时,x-1x无最大值C.当x≥2时,x+1x的最小值为2D.当x>0时,x+1x≥2已知两正数a、b满足:a2+b2=16,则ab的最大值是()A.2B.4C.8D.16设1a<1b<0,则在①a2>b2;②a+b>2ab;③ab<b2;④a2+b2>|a|+|b|中恒成立的个数为()A.1B.2C.3D.4已知x,y,a,b∈R+,且ax+by=1,求x+y的最小值()A.(a+b)2B.1a+1bC.a+bD.a+b设P=a+1a-2(2<a<3),Q=log12(x2+116)则P、Q的大小关系是()A.P≤QB.P<QC.P≥QD.P>Q下列叙述正确的是()(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(3)当x>0且x≠1时,lgx+1lgx≥2(4)函数f(x)=sin2x+2+4sin2x+2,(x∈R)的最小值为4.A.(1)(3)B.(1)(2)(3)C.(1设a,b,c大于0,则3个数a+1b,b+1c,c+1a的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c[a、b、c∈(0,1)],已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其它得分情况),则ab的最大值为()A.148B.已知a,b∈R+,且4a+2b=1,那么1a+1b的最小值为()A.6+42B.12C.6+22D.9已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为()A.3B.3+22C.4D.8设a,b,c三数成等比数列,而x,y分别为a,b和b,c的等差中项,则ax+cy=()A.1B.2C.3D.不确定若实数a、b满足a+b=2则2a+2b的最小值是()A.8B.4C.22D.242若实数x、y、z满足x2+y2+z2=1,则xy+yz+zx的取值范围是()A.[-1,1]B.[-12,1]C.[-1,12]D.[-12,12]已知函数f(x)=2x的反函数为y=f-1(x).若f-1(a)+f-1(b)=4,则1a+4b的最小值为()A.54B.94C.918D.1已知ax=(6-a)2y=3(1<a<5),则2x+1y的最大值为()A.2B.3C.4D.6已知矩形的边长x,y满足4x+3y=12,则矩形面积的最大值为()A.3B.6C.8D.9当x>2时,不等式x+4x-2≥a恒成立,则实数a的()A.最小值是8B.最小值是6C.最大值是8D.最大值是6若x,y∈(0,+∞),且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是()A.lg5B.2(1-2)C.不存在D.2-4lg2a>0,b>0且a+b=1,则(1a2-1)(1b2-1)的最小值()A.6B.7C.8D.9若-4<x<1,则x2-2x+22x-2的最小值为()A.2B.3C.0D.1函数y=2x2+4x,(x∈R+)的最小值为()A.6B.7C.8D.9已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*z最小值为()A.92B.322C.32D.94若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lga•lgb的最大值是()A.0B.1C.2D.52设x,y∈R+,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥22+2B.xy≤2+1C.x+y≤(2+1)2D.xy≥22+2在a>0,b>0的条件下,三个结论:①2aba+b≤a+b2,②a+b2≤a2+b22,③b2a+a2b≥a+b,其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3已知a=ksinθ•e1+(2-cosθ)•e2,b=e1+e2,且a∥b,e1与e2不共线,θ∈(0,π).(1)求k与θ的关系;(2)求k=f(θ)的最小值.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是______.函数f(x)=x+2x+1(x>0)的最小值为______.已知函数f(x)=x2+ax+b-3,f(x)的图象恒过点(2,0),则a2+b2的最小值为______.函数f(x)=1+logax(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为______.已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x)(Ⅰ)证明f(0)=0;(Ⅱ)证明f(x)=kxx≥0hxx<0其中k和h均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k>0时,设g(x)=1f(x)+f(x)(x>0已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).(1)确定k的值;(2)求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的x值.若实数a,b满足a+2b=2,则3a+9b的最小值为______.已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′(x)(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)对于函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为f(x)的“下确界“,则函数f(x)=1-4x+15-4x,x∈(-∞,54)的“下确界“等于______.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是______.国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.(I)写出v关于w的函数关系式;(II)若设x>1,则函数y=x+4x-1的最小值______,此时相应x的值为______.已知f(x)=log3(x-3),若实数m,n满足f(m)+f(3n)=2,则m+n的最小值为______.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为______.已知a,b,c是不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc.
基本不等式及其应用的试题400
已知a,b∈R+,下列不等式:①a+b+1ab≥22,②(a+b)(1a+1b)≥4,③a2+b2ab≥a+b,④2aba+b≥ab,其中一定恒成立的是______(填写序号).若x∈(0,π2)则2tanx+tan(π2-x)的最小值为______.已知:3Sinβ=Sin(2α+β),则tanβ的最大值是______.已知x,y∈R+,且2x+y=1,求1x+1y的最小值.设x>-1,求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.函数y=3x2+162+x2,当且仅当x=______函数的最小值______.设函数f(x)=2x+1x-2(x<0),则f(x)的最大值为______.函数f(x)=x(1-2x)(0<x<12)的最大值是______.设x,y是满足2x+y=4的正数,则xy的最大值是______.已知f(ex+e-x)=e2x+e-2x-2,则函数f(x)的值域是______.已知函数f(x)=(12)x,a,b∈R*,P=f(a+b2),Q=f(ab),R=f(2aba+b),试证明P、Q、R的大小关系.函数f(x)=x+3x在[p,+∞)上单调递增,则实数p的最小值为______.正数m,n满足2m+n=1,则1m+2n的最小值为______.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则a+1c+c+1a的最小值为______.设x>0,则函数y=x+4x的最小值是______.已知x>-1,则x=______时,4x+1x+1的值最小.某工厂生产的新型儿童玩具,当每天的产品数量依次为1,2,3,…,98件时,废品率依次为299,298,297,…,1.正品每件赢利10元,废品每件亏本5元(正品率与废品率之和等于1).(1函数y=ax+1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0,(m>0,n>0)上,则2m+1n的最小值是______.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(0)=1,b=-a-1,解关于x不等式f(x)<0;(2)若f(x)的最小值为0,且a<b,设ba=t,请把a+b+cb-a表示成关于t的函数g(t),并求g(t)的最小值.已知M是△ABC内的一点,且AB•AC=23,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为12,x,y,则1x+4y的最小值为______.若x>-1,则x+1x+1的最______值为______.函数y=x+2x,x∈[-2,0)∪(0,2]的单调递减区间为______.若a>3,则a+4a-3的最小值是______.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次品率P与日产量x(件)之间大体满足如下关系:p=196-x,(1≤x<c)23,(x>函数y=x+4x-1(x>1)的值域为______.当a>0,b>0时,用反证法证明a+b2≥ab,并指出等号成立的充要条件.设x,y∈R+,且满足4x+y=40,则lgx+lgy的最大值是______.上海某玩具厂生产x套吉祥物“福娃”所需成本费用为P元,且P=1000+5x+110x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q=a+xb(a,b∈R),(1)问:该玩具厂生产多少套“福娃”时,使得每套“福娃”所已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+4x,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,则n-m的最小值是______.若a>2,则a+2a-2有最小值为______.若x∈R+,则x+9x+1的最小值为______.设x,y,a∈R+,且当x+2y=1时,3x+ay的最小值为63.则当1x+2y=1时,3x+ay的最小值是______.给出以下命题:(1)函数y=f(x)的图象与直线x=2最多有一个交点;(2)当sinx≠0时,函数y=sin2x+4sin2x的最小值是4;(3)函数y=12x-1-m是奇函数的充要条件是m=12;(4)满足f(12-x)=fA市一卡车运送物资到相距120千米的B市,卡车每小时的费用L(元)可表示为车速v(千米/小时)平方的一次函数.当车速为60km/h时,每小时的费用为19元;当车速为90km/h时,每小时费若x>1,则当x+4x-1取到最小值时,x=______.正数a、b满足a+b+1=ab,则3a+2b的最小值是______.设x<3,则y=2x+1x-3的最大值是______.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食,他们共购进粮食两次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮20000千克,乙每次购粮10000元,在两次统计中,购粮(1)将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点”,则概率P(AB)等于______;(2)一个篮球运动员投篮一次得2分的概率为a,得3分的概率为b,不得分的概热力公司为某生活小区铺设暖气管道,为减少热量损耗,管道外表需要覆盖保温层,经测算要覆盖可使用20年的保温层,每厘米厚的保温层材料成本为2万元,小区每年的热量损耗费用若直线ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-2y=0,则:(1)a,b满足的条件是______;(2)1a+4b的最小值是______.设x>1,y>1且(x-1)(y-1)=2,若x+y≥k恒成立,则实数k的取值范围是______.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,(1)设池底的长为xm,试把水池的总造价S表示成关于x的函数;(2)如何已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.函数f(x)=3+lgx+4lgx(0<x<1)的最大值为______.(1)x,y∈R,x+y=5,求3x+3y的最小值.(2)若0<x<13时,求函数y=x(1-3x)的最大值.已知函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则1m+2n最小值为______.设x>0,y>0且x+2y=1,求1x+1y的最小值______.若动直线ax+by=1过点A(b,a),以坐标原点O为圆心,OA为半径作圆,则其中最小圆的面积为______.当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,求4m+2n的最小值.已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x,y的正半轴与A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2).(1)求线段AB中点的轨迹方程;(2)求ab的最小值.当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则4m+2n的最小值是______.已知直线l1与l2平行,点A是这两直线之间的一定点,且点A到这两直线的距离分别为3和2,以A为直角顶点的直角三角形另两顶点B、C分别在直线l1、l2上,则当B、C运动时,直角三角若a,b∈(0,+∞),且a+b=ab,则a2+b2的最小值是______.已知正实数x,y满足等式x+y+8=xy,若对任意满足条件的x,y,都有不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.已知x,y均为正实数,且12+x+12+y=13,求x+y的最小值.在下列函数中,①y=|x+1x|;②y=x2+2x2+1;③y=log2x+logx2(x>0,且x≠1);④0<x<π2,y=tanx+cotx;⑤y=3x+3-x;⑥y=x+4x-2;⑦y=x+4x-2;⑧y=log2x2+2;其中最小值为2的函数是______已知x>4,函数y=-x+14-x,当x=______时,函数有最______值是______.某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元给出下列条件:①ab>0;②a>0,b>0;③a<0,b<0;④ab<0.能使不等式ba+ab≥2成立的条件序号是______.已知x>0,则函数y=x3-4x2的最大值是______.(1)已知x<54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值(2)已知a>0,b>0,c>0,求证:bca+acb+abc≥a+b+c.已知a,b,c∈(0,+∞),满足abc(a+b+c)=1,S=(a+c)(b+c),当S取最小值时,c的最大值为______.已知a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n为正数),若a⊥b,则1m+2n的最小值是______.已知:a,b均为正数,1a+4b=2,则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是______.已知a是实数,试解关于x不等式x≥x2-2x-ax-1.已知x>0,y>0,且x+y=1,求2x+1y的最小值是______.已知x、y都是正数,则满足x+2y+xy=30,求xy的最大值,并求出此时x、y的值.已知函数f(x)=x2-2x+49(x-1)2,x∈(-∞,1)∪(1,+∞),求f(x)的最小值.设x∈R+且x2+y22=1,求x1+y2的最大值.某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元,从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元,该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞设a>23,则a3+13a-2的最小值为______.(1)已知x>0,求y=2x+6x+3的最小值(2)已知x>0,求y=2x+6x+1+3的最小值.一边长为48cm的正方形铁片,在铁片的四角各截去边长为xcm的小正方形(截去的四个小正方形全等),然后制作一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积V表示为x的函数;(2)求方盒的容积V的若x>0,则x+9x的最小值是______;取到最小值时,x=______.下列函数中,最小值为2的是______①y=x2+2+1x2+2②y=x2+1x③y=x(22-x),(0<x<22)④y=x2+2x2+1.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+2b的最小值为______.设(ax+2b)9与(bx+2a)8展开式中x3项的系数相等(a>0,b≠0)(1)求b3+3a的取值范围;(2)当a=3时,求(bx+2a)8展开式中二项式系数最大的项.已知向量a=(x-1,2-y)向量b=(y-2,x-1),若a∥b,则x2+y2=______.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+2b的最大值是______.设x>0,y>0,x+y-x2y2=4,则1x+1y的最小值为______.在周长为定值P的扇形中,当半径为______时,扇形的面积最大,最大面积为______.在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最小,则这两个数的和为______.若A,B,C为△ABC的三个内角,则4A+1B+C的最小值为______.已知x,y都是正数.若3x+2y=12,求xy的最大值.若x>0,则x+4x的最小值为______.例2.求证:a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).实数a>b>c且a+b=1-c,a•b=c(c-1),则c的取值范围为______.已知2x+8y=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为______.已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为______.设a>0,b>0,且2a+b=1,则2a+1b的最小值是______.已知a、b、c∈R+,a、b、c互不相等且abc=1.求证:a+b+c<1a+1b+1c.求下列函数的最值(1)x>0时,求y=6x2+3x的最小值.(2)设x∈[19,27],求y=log3x27•log3(3x)的最大值.(3)若0<x<1,求y=x4(1-x2)的最大值.(4)若a>b>0,求a+1b(a-b)的最小值.某商场的某种商品的年进货量为1万件,分若干次进货,每次进货的量相同,且需运费100元,运来的货物除出售外,还需租仓库存放,一年的租金按一次进货时的一半来计算,每件2元制作一个容积为16πm3的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料)求函数y=2x2+3x,(x>0)的最小值,指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:y=2x2+3x=2x2+1x+1x≥332x2•1x•2x=334.∴ymin=334.解二:y=2x2+3x≥22x2•3x=26x当2x2=3x即x=3122时,设x、y是正实数,且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是______.在正项等比数列{an}中,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值为______.矩形ABCD中,AB⊥x轴,且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asinax(a∈R,a≠0)的一个完整周期图象,则当a变化时,矩形ABCD周长的最小值为______.