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二面角的试题列表

二面角的试题100

如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，。沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置。（1）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（2）如果△ABC为等腰三角形，求 M是两异面直线所成角的集合，N是线面角所成角的集合，P是二面角的平面角的集合，则M、N、P三者之间的关系为[]A.B.C.D.如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=PB，∠ABC=60°，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。（1）求二面角B1-EF-B的正切值；（2）M为棱BB1上的一点，当的值为多少时能使D1M⊥平面EFB1？试给出四面体ABCD中，AB=BC，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，且△EFG为正三角形，AG⊥平面BCD。（1）求AB与平面BCD所成角的大小；（2）求二面角E-FG-C的平面角的余弦值。四棱锥O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且，底面ABCD是菱形；点B在平面OAD内的射影G恰为△OAD的重心，（1）求OA的长；（2）求二面角B-OC-D的平面角的余弦值。如图，在三棱锥S-ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，，（1）证明SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；（3）当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为在空间四边形ABCD中，边长AB、BC、CD、DA均为1，对角线AC=，且二面角D-AC-B的大小为，则∠DAB=（）。如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E。（1）求证：PA⊥BD；（2）求二面角P-DC-B的大小；（3）求证：若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，且侧棱垂直于底面，若AB1与底面ABCD成60°角，则二面角C-B1D1-C1的平面角的正切值为（）。将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则二面角D-AC-B的大小为（）。正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后不会成立的结论是[]A.AC⊥BDB.△ADC为等边三角形C.AB、CD所成角为60°D.AB与平面BCD所成角为60°在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B-AC-D的余弦值为[]A.B.C.D.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=，∠PAB=60°。（1）证明：AD⊥平面PAB；（2）求二面角P-BD-A的大小。如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA1。（Ⅰ）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（Ⅱ）求证：BC1⊥AB1；（Ⅲ）求二面如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC。（Ⅰ）求二面角E-AC-D1的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存如图，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角A-EB-D的正切值。如图，点P为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点M，交于点N。在任意中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点。（I）证明：D1E⊥A1D；（II）求二面角D1-EC-D的大小；（III）求点D到平面D1EC的距离。已知AA1⊥平面ABC，AA1=AB=BC=CA=3，P为A1B上的点。（1）当P为A1B的中点时，求证：AB⊥PC；（2）当时，求二面角P-BC-A平面角的余弦值。如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BDE，FB=。（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求二面角F-DE-B的如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为D′C′的中点，则二面角E-AB-C的大小为（）。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点。（I）证明：DE∥底面ABC；（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值。在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为（）。如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线VA垂直于圆O所在的平面ABC，VB与平面ABC成30°的角，D，E分别是线段VB，VC的中点。（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：平面VAC 已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）的体积为12，底面正方形的对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角的平面角为（）。在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。（1）求证：DE//平面ABC；（2）求二面矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如图，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为，则sin的值等[]A．B．C．D．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=。（I）求证：A1B⊥B1C；（II）求二面角A1-B1C-B的大小。长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，AA1=4。（1）说出BD1与平面ABCD所成角，并求出它的正切值；（2）指出二面角D1-AC-D的平面角，并求出它的正切值；（3）求证：AC⊥BD1 在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，，这时二面角B-AD-C的大小为（）。从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角，则二面角A-PB-C的余弦值是（）。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°。（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的余弦值。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°。（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的大小。如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD。（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角B-AD-C的大小。二面角内一点到两个面的距离分别为、4，到棱的距离是，则二面角的度数是[]A.75°B.60°C.90°D.120°如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=a。（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小。如图，已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，。（1）求侧棱与底面ABC所成的角；（2）求侧面与底面ABC所成的角；（3）求顶点C到平面的距离。已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=3，AB=2，BC=，则二面角P-BD-A的正切值为[]A.1B.2C.D.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1。（I）求证：AC1⊥平面A1BC；（II）求CC1到平面A1AB的距离；（III）求二面角A-A1B-C的如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=1，BB1=。连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E。（1）求证：AC1⊥平面B1D1E；（2）求二面角E-B1D1-C1的大小。如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC上的一点，在截面ADC1中，∠ADC1=90°，求二面角C1-AD-C的大小。设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为[]A、4πB、28πC、16πD、112π 如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=60°，点B为DE的中点。（1）求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；（2）设二面角A1-BC-A的大小为如图1，矩形ABCD中，AB=，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P，如图2。（1）求二面角B-PQ-C的大小；（2）证明：PQ⊥BC；（3）求直线P 一件商品，先涨价20%，然后又降价20%，结果现价与原价相等。[]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O。（Ⅰ）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（Ⅱ）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE=2E 如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=。（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）。（Ⅰ）当x=2时，求证如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；三棱柱中，∠ABC=90°，BB1⊥底面ABC，D为棱AC的中点，且AB=BC=BB1=1。（1）求二面角A1-BD-C的余弦值；（2）棱CC1上是否存在一点P，使PD⊥平面A1BD；若存在，试确定P点位置，若不存在如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1。（Ⅰ）求证：MN⊥平面ABCD；（Ⅱ）求线段AB的长；（Ⅲ）求二面角二面角α-l-β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为[]A．aB．2aC．aD．a 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°。（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证如图，正四棱锥P-ABCD各棱长都为2，点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点。（1）求证：PD∥平面QAC；（2）求平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小；（3）求三棱锥P-MN 如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N为PC的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B-AN-C的正切值．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE。（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A-DE-P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的如图所示，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=。（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；（3）两个数的积一定是这两个数的公倍数。[]如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N为PC的中点。（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角B-AN-C的正切值。以等腰直角三角形斜边上的高为棱把它折成直二面角，则折成后两直角边的夹角为（）。下图的正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是[]A.30°B.45°C.60°D.90°正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于（）。如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。(1)求三棱锥D1-DBC的体积；(2)证明：BD1∥平面C1DE；(3)求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。△ABC为正三角形，P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，△APB与△ABC的面积之比为2：3，则二面角P-AB-C的大小为[]A．90°B．45°C．60°D．30°如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A-CD-P所成角如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）求二如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2。（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；（Ⅱ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k·AB，若平面EBD与平面BDC的夹角大于45°，求k的如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4。(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）。将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如图乙）。(1)求证已知α-l-β是大小为45°的二面角，C为二面角内一定点，且到平面α和β的距离分别为和6，A，B分别是半平面α，β内的动点，则△ABC周长的最小值为（）。二面角指的是[]A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小。如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN，截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是（）。下图的正方体ABCD-A′B′C′D′中，二面角D′-AB-D的大小是[]A.30°B.45°C.60°D.90°已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示，(Ⅰ)求证：AN∥平面MBD；(Ⅱ)求异面直线AN与PD所成角的余弦值如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．(Ⅰ)求证：C1D∥平面ABB1A1；(Ⅱ)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角D-A1C1-如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径为9．(Ⅰ)求证：平面ABCD⊥平面ADE；(Ⅱ)求如图甲，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图乙所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．(Ⅰ)求直在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E(图甲)，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC(图乙)。(Ⅰ)若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE；(Ⅱ)P是AC上任如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFC，AD⊥平面DEFC，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DC，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=l，(Ⅰ)求证：BF∥平面ACGD：(Ⅱ)求二面角D-CC-F的余弦值；(Ⅲ)求六面体一个多面体的三视图及直观图如图所示，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(Ⅰ)求证：MN⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小；(Ⅲ)求二面角A-A1B-C的大小．如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=CD，(Ⅰ)求证：PE⊥平面PBC；(Ⅱ)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点，(Ⅰ)求证：EF∥平面A′CD；(Ⅱ)求直线A′E与平面BCD所成角的余弦值；(Ⅲ)二面角如图，l1，l2是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l1上，点A，B在直线l2上，M，N分别是线段AB，AP的中点，且PC=AC=a，PA=a，(Ⅰ)证明：PC⊥平面ABC；(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所如图，在三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2，(Ⅰ)求证：AB1⊥BC1；(Ⅱ)求二面角C1-AB1-A1的大小．下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中SA=SC，M，N分别为AB，SB的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥SB；(Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE，(Ⅰ)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；(Ⅱ)在平面EBD与平面AB 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，①求异面直线PD与BC所成角的余弦如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，，E，F分别是AC，AD上的动点，且，(Ⅰ)判断EF与平面ABC的位置关系并证明；(Ⅱ)若面BEF与面BCD所成的角为60°，求λ的值。如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE平面⊥ABCE，(Ⅰ)求证：AD′⊥EB；(Ⅱ)求二面角A-BD′-E的大小。如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1，(Ⅰ)求证：BB1⊥平面ABC；(Ⅱ)求多面体DBC-A1B1C1的体积；(Ⅲ)求二面角C-DA1-C1的平面角的余弦如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上，(Ⅰ)求证：AB⊥平面BCD；(Ⅱ)求异面直线BC与AD所成的角；(Ⅲ)求二面

二面角的试题200

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AC=2，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，(Ⅰ)AF为何值时，CF⊥平面B1DF？(Ⅱ)设AF=1，求平面B1CF与平面如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC。(Ⅰ)证明：SE=2EB；(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF；(Ⅲ)求二面角B-EF-如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC；(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．两列火车从甲、乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇。已知慢车速度是快车的，快车和慢车的速度各是多少？甲、乙两地相距多少千米？下图是小明对本班同学的上学方式进行的一次调查统计，通过收集数据后制作的两幅不完整的统计图。根据图中提供的信息，可得“骑自行车”的学生占调查人数的（）%。四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．(Ⅰ)证明：AD⊥CE；(Ⅱ)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1。（I）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ。证明：PQ⊥OA；（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。（I）求直线AM与平面BCD所成角的大小；（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点。（I）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；（Ⅱ）求二面角M-BC'-B′的大小。一个三角形三个内角的度数比为2：3：4，这个三角形中最大角的度数是（）。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求多面体ADC-A1B1C1的体积；（3）求二面角D-CB1-B的平面角的正切值．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF，（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1，(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值。已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点。（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β。求证：tanβ=tanα；（2）若点C到平面如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于D。（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值。如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=，（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1 如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA。（I）求证：CD=C1D；（II）求二面角A-A1D-B的平面角如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点。（1）证明：AD⊥平面DEF；（2）求二面角P-AD-B的余弦值。如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点，（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。（1）证明：AP⊥BC；（2）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。求二面角B-AP-C的大小。如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC。（1）证明：SE=2EB；（2）求二面角A-DE-C的大小。如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB；(Ⅲ)求二面角B-DE-C的大小．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1。（1）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1。（1）求证：AF∥平面BDE（2）求证：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小。如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4，沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，(Ⅰ)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE。AB：AD：AA1=1：2：4。（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1-ED-F的如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点。（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A-CD-E的四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC。（1）证明：AD⊥CE；（2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E的大小。如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a，(Ⅰ)证明：EB⊥FD；(Ⅱ)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小；(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2，(Ⅰ)求点A到平面MBC的距离；(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。（1）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值。已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于（）。已知二面角α-l-β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为[]A．B．2C．2D．4 如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a>0）（1）求证：AC⊥BF；（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值。如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC，(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°。（1）求的值；（2）求直线PB与平面BMN所成角的大已知A、B、C是表面积为48π的球面上三点，且AB=2，BC=4，∠ABC=，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为[]A.arccosB.arccosC.D.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4，(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AC=AB，AB=BC=a，D为BB1的中点，（1）证明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（2）求平面ADC1与平面ABC所成的二面角大小。如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点。（1）求直线B1C与DE所成角的余弦值；（2）求证：平面EB1D⊥平面B1CD；（3）求二面角E-B1C-D的余弦值。如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥AB，PC⊥BC，AC=PC=，PA=，PB=，D、F分别是PB、AC的中点，(1)求证直线DF⊥平面ABC；(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点。（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小；（3）求三棱锥A-BCE的计算下面各图形的周长（单位：米）（1）（2）任意转动转盘，指针落在（）区域的可能性最小，指针落在（）区域的可能陛最大。王昆到某商场买了一个篮球49.8元，又买了一个排球48.5元。他付给收银员100元，应找回多少元？（计算过程要体现出如何快速心算）如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2，（Ⅰ）求证：PD⊥BC；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，E是侧棱AA1的中点。（1）证明BC1⊥EC；（2）求二面角A-EC-B的大小。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，，AA1=，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1。（1）求证：AM⊥平面A1BC；（2）求二面角B-AM-C的大小；（3）求点C到平面ABM的距离。如图，直二面角D-AB-E，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。（1）求证AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小。已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=，M，N分别是PD，PB的中点，（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，D是A1B1的中点，E在线段CC1上且C1E=2，（Ⅰ）证明：DC⊥面ABE；（Ⅱ）求二面角D-AE-B的大小．如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1A=2，E、F分别是A1A和D1B的中点。（1）求证：平面EFB1⊥平面D1DBB1；（2）求四面体B1-FBC的体积；（3）求平面D1EF与平面ABCD所成二面角（锐角）把正三角形ABC沿高AD折成二面角B-AD-C后，BC=AB，则二面角B-AD-C为[]A.30°B.45°C.60°D.90°正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是棱CD的中点，(1)求证：直线B1F∥平面D1DE；(2)求二面角C1-BD1-B1的大小；(3)若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DPA1C1体积的如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2。（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠BAF=90°，BCAD，BEAF．（Ⅰ）求证：C、D、E、F四点共面；（Ⅱ）若BA=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，AB=。沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置。（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC。（1）证明：A1C⊥平面BED；（2）求二面角A1-DE-B的大小。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°，（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；（Ⅲ）求二面角C-AC1-D的余弦如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，(Ⅰ)求证：AC⊥SD；(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC，（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A-EB-C的大小．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O为BC的中点，AO∥面EFD，(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：面EFD⊥面BCED；(Ⅲ)如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3，得到三棱锥B-ACD，（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（2）求二面角Q-BP-C的余弦值。如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点。（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；（2）求证：PA⊥平面CDM；（3）求二如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，（1）求证：C1D∥平面ABB1A1；（2）求二面角D-A1C1-A的余弦值。如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA1=。（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求二面角D-A1C-A的大小。如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B-B1C-A的大小；（Ⅲ）求点A1到平面B1AC的距离。在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设Q为侧棱PC上一点，=λ，试确定λ的值，使得如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2。（1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（2）若二面角B1-DC-C1的大小为60°，求AD的长。如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=AB=1，M是SB的中点，（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；（2）求AC与SB所成角的余弦值；（3）求二面角如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角。（1）若F、G分别为A′D、EB的中点，求证：FG∥平面A′BC；（2）如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M在侧棱PC上，且CM=2MP，(1)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；(2)求二面角A-PC-D的余弦值．已知如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。（1）求证：DE⊥PC；（2）当PA//平面EDB时，求二面角E-BD-C的正切值。如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，BC=2AD；PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=，E为PC的中点，（1）证明：PC⊥平面BDE；（2）求二面角E-BD-C的大小。在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如下图，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如下图。（1）求证：SA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AC-D的正已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2。点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC。（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A-CD-P的余如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=PB=1，BC=2。（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：平面PAD⊥平面PDC；（3）求二面角A-PD-B的余弦值。如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得，当二面角A-B1C1-P的大小为30°时，求实如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G，（Ⅰ）求证：EG∥D1F；（Ⅱ）求二面角C1-D1E-F的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面D 在三棱柱中ABC-A1B1C1，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点。（1）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（2）求证：AB1∥平面A1DC；（3）求二面角D-A1C-A的余弦值。如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中正确的是：（）。①平面EFG∥平面PBC；②平面EFG⊥平面ABC；③∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；计算。（1）23+48（2）56-7（3）38+9（4）100-91（5）83-24（6）65+16（7）42-15（8）39+4（9）74-47 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，PC⊥BD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)求二面角A-PD-B的大小．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1ACC1⊥平面ABCD，∠ABC=∠A1AC=60°，点O为底面对角线AC与BD的交点。（1）证明：A1O⊥平面ABCD；（2）求二面角D-A1A-C的平如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1B1C1均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-C的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD。（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（

二面角的试题300

如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是（）（把你认为正确的结论都填上）。①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C-B1D1-C1的正切已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE，（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高。已知AB=，∠APB=∠ADB=60°。（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）求二面角P 把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。（1）求证：AB∥平面EOF；（2）求二面角E-OF-B的大小。如下图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为8π，∠AOP=120°。（1）求证：AG⊥BD；（2）求二面角P-AG-B的平面已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=[]A.2B.C.D.1 如果是最小的假分数，那么[]A．a>7B．a<7C．a=7 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为[]A.7πB.9πC.11πD.13π 己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于（）。如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB，(1)求证：AB⊥平面PCB；(2)求二面角C-PA-B的余弦值．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE，(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1E⊥A1D；（2）是否存在点E使得面D1DE⊥面D1EC？若存在，请求出此时点E到面ACD1的距离；若不存在，请如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD⊥平面ABF；(3)求二面角B-EF-如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD。（1）求证：AF⊥平面BCF；（2）求二面角B-FC-D的大小。已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点，(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；(3)若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，，(1)证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；(2)求二面角A-CC1-如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上，(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心；(3)若球O 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点。（1）求证：DM⊥EB；（2）求二面角M-BD-A的余弦值。正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-B1的大小为[]A.60°B.30°C.120°D.150°如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2。（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设=λ，当λ取何值时，二面角A-EF-C的大小为。如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=，BF=。（1）求证：CF⊥C1E；（2）求二面角E-CF-C1的大小。如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合，(1)当CF=1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．看图填空，并在○里填上“>”、“<”或“=”。用小数表示：（）○（）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点，(1)求证：EF⊥平面PCD；(2)求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点。（1）证明：AM⊥PM；（2）求二面角P-AM-D的大小；（3）求点D到平面AMP的距离。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，，PC⊥BD，E为AB的中点。（1）证明：PE⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PD-B的大小。如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，F为DC1的中点，(1)证明：BD⊥AA1；(2)证明：OF∥平面BCC1B1；(3)求二面角D-如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=AB，点E在SD上，且SD=3SE。（1）证明：AE⊥AB；（2）求二面角E-AC-D的正切值。如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点，(1)求证：A1D⊥平面BB1C1C；(2)求证：AB1∥平面A1DC；(3)求二面角D-A1C-A的余弦值。如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点。（1）求证：PQ∥平面ACD；（2）求几何体B-ADE的体积；（3）求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的正切值。如图所示，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；（2）当时，求二面角C 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，(1)若F为AA1的中点，求证：EF∥平面DD1C1C；(2)若F为AA1的中点，求二面角A-EC-D1的余弦值；(3)若F在AA1上运动(F与A，A1不重如图所示，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥ABCD，∠A1AC=60°。（1）证明：BD⊥AA1；（2）求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值；（3）在直线CC1上是否存在点P 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，。（1）证明：C，D，F，E四点共面；（2）设AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小。如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M，N分别为AB，SB的中点，(1)求证：AC⊥SB；(2)求二面角M-NC-B的余弦值．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点，(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P-AM-D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=3，∠ACB=90°，D为CC1上的点，二面角A-A1B-D的余弦值为-。（1）求证：CD=2；（2）求点A到平面A1BD的距离。把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点D、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点，(1)求证：AB∥平面EOF；(2)求二面角E-OF-B的大小．把3.06的小数点去掉是（），它就（）到原数的（）；把40.5的小数点移到最高位的左边是（），它就（）到原数的（）。如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a，（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A 已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB。（1）证明PC⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=PB，点E是PD的中点，（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅲ）求二面角E-AC-B的大小。在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，底边AB上有且只有一点M使得平面D1DM⊥平面D1MC，（1）求异面直线C1C与D1M的距离；（2）求二面角M-D1C-D的正弦值。如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，（Ⅰ）证明PA⊥BF；（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）。将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）。小明5天看了一本书的，还剩下这本书的（）没有看。已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角B-OA-C的大小是[]A.B.C.D.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=A1A1=a，AB=2a，（1）求证：MN∥平面ADD1A1；（2）求二面角P-AE-D的大小；（3）求三棱锥P-DE 如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：（1）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；（2）二面角A1-AB-B1的大小。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1=AC=AB，求二面角A1-AD-C1的大小。已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。（1）证明BF∥平面ADE；（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形。（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B-AC-D的大小；（3）在直线AC上如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1。（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD，（Ⅰ）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；（如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M-DE-A为30°。（1）证明：A1B1⊥C1D；（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N，（Ⅰ）求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距指南针是用来指示（）的，它是我国古代（）大发明之一。如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离；（2）求异面直线BE与AC所成的角；（3）求二面角E-AB-C的大小。已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。（1）证明BF∥平面ADE；（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点，（Ⅰ）证明EF∥平面SAD；（Ⅱ）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的大小。如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：（1）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；（2）二面角A1-AB-B1的大小。如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2。（1）求证：A1C1与AC共面，B1D1与B 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小。每横行、竖行、斜行三个数相加的和都要等于18。7106 8时半[]A.B.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6。（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-BD-A的大小。如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=，BC=6。（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的大小。已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°，若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α-AB-β的大小是（）。如图，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成的角为30°。（1）证明BC⊥PQ；（2）求二面角B-AC-P的大小。如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；(Ⅲ)求二面角A-PD-C的大小。如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°。（1）求证：AC⊥BM；（2）求二面角M-AB-C的大小；（3）求多面体PMABC的体积。如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2。（1）求证：A1C1与AC共面，B1D1与B 下图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC。已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；看图列式。（1）（）÷（）=（）个（2）可以拼几个？列式：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A-A1D-B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离。如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大小。如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大小；（3）求点C到平面APB的距离。36÷6=6读作：（）。如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=AC=2A1C1=2，D为BC的中点。（1）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，。（1）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A-CC1-如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=。（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求二面角A-BE-P和的大小。一个四棱锥的底面为正方形，其直观图与三视图如图所示，则二面角P-DC-A的正弦值为[]A.B.C.D.用大豆榨油，出油率是25%，要榨75千克油，至少需要大豆多少千克？如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点。（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为ψ，求证θ+ψ=。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1。（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明。如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°，（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°。（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A-A1C-B的大小。如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°，（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段CD的中点分别为P，在直线AE上是如图，四棱椎F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2，(Ⅰ)求二面角B-AF-D的大小；(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点，（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）。（1）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE；（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为[]A.O-ABC是正三棱锥B.直线OB∥平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二

二面角的试题400

如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O-AC-O1的大小。在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点，（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求点B到平面SMN的距离。如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E是PD的中点，（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值。如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F，（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）。如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成某气象员观察大气污染情况，每隔3小时做一次记录，做第9次记录时，挂钟时针正好指向9时，做第一次记录时，时针指向几时？如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A-DF-B的大小。算一算。（1）624÷6÷4（2）28×8÷7（3）（749-131）÷3（4）636÷6+2（5）536÷（4×2）（6）105×6-367 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF，（1）证明：MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求二面角E-AB-D平面角。如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为。三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，(Ⅰ)求证AB⊥BC；(Ⅱ)如果AB=BC=2，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小。如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。下面的哪个图形的阴影部分是，在括号里打“√”，不是的打“×”。（1）[]（2）[]（3）[]（4）[]（5）[]（6）[]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1。（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC上如图，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距下面哪些式子是对的？对的打“√”，错的打“×”。（1）48×（17+25）=48×17+25[]（2）125+237×8=125×8+237[]（3）57×24-57×18=57×(24-18)[]（4）104×25=100×25+4×25[]（5）99×23=100×23-23[]（6 如图，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D，（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值。下面哪些式子是对的？对的打“√”，错的打“×”。（1）48×（17+25）=48×17+25[]（2）125+237×8=125×8+237[]（3）57×24-57×18=57×(24-18)[]（4）104×25=100×25+4×25[]（5）99×23=100×23-23[]（6 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜），（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；（Ⅲ）当MN长最设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为[]A.B.C.D.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜），（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小。若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是（）。如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等。（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的大小（结果如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为3，AA1=，D为CB延长线上一点，且BD=BC。（1）求证：直线BC1∥面AB1D；（2）求二面角B1-AD-B的大小；（3）求三棱锥C1-ABB1的体积。如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M，(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。如下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值。在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，。（1）求直线AM与平面BCD所成角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（1）证明：AE⊥平面PBC；（2）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值。如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1，(Ⅰ)求PC与AB所成角的余弦值；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅲ)求二面角E-AC 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，（Ⅰ）求证：AE⊥B1C；（Ⅱ）求异面直线AE与A1C所成的角；（Ⅲ）若G为C1C的中点，求二面角C-AG-E的正切值。如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2，（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅲ）求二面角B-AP-C的余弦值。直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=AD=DC=2，（Ⅰ）求异面直线AC1与BC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC1；（Ⅲ）求二面角B-AC1-C的正切值。如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：（Ⅰ）该三棱柱的侧如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（Ⅱ）该最短路线的长及的在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如图1）。将△ADC沿AC折起，使D到D′。记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ，（Ⅰ）若二面角α-AC-β为直二面角（如图2），求二面角β-BC-γ的如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上，使，DE=3，现将△ABC沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）。在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为（）；（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为（）。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°。（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的大小。如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，AS=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E-CD-A的大小。如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°，(Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)；(Ⅱ)证明BC⊥平面SAB；(Ⅲ)用反三角函坐标空间中，若平面E：ax+by+cz=1满足以下三条件：(1)平面E与平面F：x+y+z=1有一夹角为30°，(2)点A（1，1，1）到平面E的距离等于3，(3)a+b+c＞0，则a+b+c的值为（）。（化成最简分数）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC，（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的大小。错对我知道，对的打“√”，错的打“×”（1）钝角比直角和锐角都大。[]（2）蹬自行车时齿轮的转动是平移。[]（3）5个5相加是5+5=10。[]（4）208读作二千零八。[]（5）两个锐角拼在一起是一个如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值。如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点，（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=+1，E为BB1上使B1E=1的点。平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求：（Ⅰ）异面直线AD与C1G所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A-C1G-A1的如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB1、A1D上，且B1E⊥A1D，四棱锥C-ABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5，（1）求异面直线DE与B1C1的距离；（2）若如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD，(Ⅰ)求二面角B-AD-F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角。将边长为a的正边形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角后，B，D两点之间的距离等于（）。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值为（）。在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）二面角P-AC-D 如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。（1）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-C的平面在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=2，则二面角B-AC-D的余弦值为[]A．B．C．D．如图，正方形ABCD和ABEF的边长均为4，且它们所在的平面互相垂直，G为BC的中点，（Ⅰ）求点G到平面ADE的距离；（Ⅱ）求二面角B-GD-E的正切值；（Ⅲ）求直线AD与平面DEG所成的角。空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD，则二面角A-BC-D的余弦值为[]A.B.C.D.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，高为，则二面角A-B1D1-A1的大小为[]A．B．C．D．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B1在底面上的射影D落在BC上，（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若AB1⊥BC1，D为BC的中点，如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=，F是线段PB上一点，CF=，点E在线段AB上，且EF⊥PB，（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，D为AB中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角C1-AB-C的余弦值。连一连。①84+180÷30-1822②（84+180）÷（30-18）72 已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，沿DE把该三角形折成直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC，则∠ADC等于[]A．150°B．135°C．120°D．105°如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A-CD-E的如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；（3）若点M在线段如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点E，E分别在棱PB，PC上移动，且DE∥BC，（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）设PA=a，当PE为何值时，二面角A-DE-P为直二如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BB1的中点，（Ⅰ）求证：EF⊥平面A1D1B；（Ⅱ）求二面角F-DE-C的正切值。如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点，将△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示，（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=，EF=2，（1）求证：AE∥平面DCF；（2）求证：EF⊥平面DCE；（3）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=，SB=2，（1）求三棱锥S-ABC的体积；（2）求二面角C-SA-B的大小；（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值。椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为[]A.30°B.45°C.60°D.75°如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A-BD-C的余弦值等于，对于图2，完成以下各小题：（1）求A，C两点间的距离；（2）证如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙），（Ⅰ）求证：AB∥平面DN 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，（1）试求的值；（2）求二面角F-AC1-C的大小；（3）求点C1到平面AFC的距离。一个多面体的直观图（正视图，侧视图，俯视图）如图所示，M，N分别为A1B，B1C1的中点，（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅲ）求二面角A-A1B-C的大小。因为A·B=4.2，所以A和B成（）比例关系。按规律再画8颗，倒数第三颗是（）色，最后一颗是（）色。在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，B1B=BC=1，则面BD1C与面AD1D所成二面角的大小为[]A．30°B．45°C．60°D．90°工厂运来15.2立方米沙土，要把这些沙土铺在—个长5米、宽3.8米的沙坑里，可以铺多厚？如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，（Ⅰ）求证：B1O⊥平面AEO；（Ⅱ）求二面角B1-AE 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值为2，求a 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小。如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别为CD、PB的中点，。（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值。跳水运动员的前翻动作是平移现象。[]如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=，AB=，SA=SD=a。（Ⅰ）求证：CD⊥SA；（Ⅱ）求二面角C-SA-D的大小。已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，侧面ACC1A1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。（1）试判断A1A与平面A1BC是否垂直，并说明理由；（2）求侧面BB1C1C与底面ABC所如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示），（1）求证：AE∥平面DCF；（2）当AB的长为，∠CEF=90°时，求二面角A-EF-C的大小。正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AC-D的正切值为[]A．1B．2C．D．正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AC-D的正切值为[]A．1B．2C．D．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N，（Ⅰ）求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=，AB=PA=AD=a，cos∠ADC=，（1）求点D到平面PBC的距离；（2）求二面角C-PD-A的正切值。已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图，（1）证明平面EAC⊥平面PBD；（2）若∠BAD=60°，当四棱锥的体积被平面EA 已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是棱B1C1和C1D1的中点，试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1-DB-B1的正切值．正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-B1的大小为_______