如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都是2,D是侧棱CC1上任意一点,E是A1B1的中点。(1)求证:A1B1∥平面ABD;(2)求证:AB⊥CE;(3)求三棱锥C-ABE的体积。如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AECD,DC=AC=2AE=2.(I)求证:AF平面BDE;(Ⅱ)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD中为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是[]A.若l⊥m,m,则l⊥B.若l⊥,l∥m,则m⊥C.若l∥,m,则l∥mD.若l∥,m∥,则l∥m已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.(Ⅰ)求证:PA∥平面BFD;(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的正切值.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2a,AB=a,PA⊥平面ABCD,F是线段BC的中点.H为PD中点.(1)证明:FH∥面PAB;(2)证明:PF⊥FD.直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)若,求A1F与平面DEF所成角的正弦值.直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)若,求A1F与平面DEF所成角的正弦值.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=1,AD=2,M为PD中点.(1)求证:MC∥平面PAB;(2)在棱PD上找一点Q,使二面角Q﹣AC﹣D的正切值为.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=3,DE=4.(1)若F为DE的中点,求证:BE∥平面ACF;(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值.如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD.(1)求证:AB⊥PD;(2)在线段PB上是否存在一点E,使AE∥平面PCD,若存在,指出点E的位置并加已知△ABC是正三角形,GC是△ABC的中线,EA、FB、CD都垂直于平面ABC.EA=3a,AB=CD=2a,FB=a,设平面EDF与平面ABC的交线为l.(1)证明GC∥l;(2)证明平面EABF与平面EDF垂直;(3)求如图,已知四棱锥P﹣ABCD.(1)若底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PA=PD,求证:PB⊥AD;(2)若底面ABCD为平行四边形,E为PC的中点,在DE上取点F,过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG,如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=1,点M,N分别是PD,PB的中点.(I)求证:PB∥平面ACM;(II)求证:MN⊥平面PAC;(III)若,求平面FMN与平如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,CD∥AB,AD⊥AB,BC⊥PC,.(1)求证:PA⊥BC(2)试在线段PB上找一点M,使CM∥平面PAD,并说明理由.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;(Ⅱ)求锐二面角A﹣如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA⊥AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证:BC∥平面EFG;(2)求三棱锥E﹣AFG的体积.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:BC⊥平面PAC.如图,四棱锥C-ABCD中,△ABC为正三角形,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2。(Ⅰ)求证:AE∥平面BCD;(Ⅱ)当EM⊥BD时,求二面角M-AB-C的正切值。在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.(1)求证:OD∥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC;(3)求三棱锥P-ABC的体积.设a,b是两条不同直线,α,β是两不同平面,对下列命题:(1)若a∥α,b∥α,则a∥b(2)若a∥α,b∥α,a∥b,则α∥β(3)若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β(4)若a,b在平面α上的射影互相垂直,则a⊥b其中正确命题如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED.(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角D-AC-E的余弦值;(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,已知a,b,l,表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同平面,给出下列四个命题:①若α∩β=a,γ∩β=b,且a∥b,则α∥γ;②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;③已知菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60°(如图1所示),将菱形ABCD沿对角线BD翻折,使点C翻折到点C1的位置(如图2所示),点E,F,M分别是AB,DC1,BC1的中点.(1)证明:BD∥平面EMF;(2)证如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F是BC的中点.(1)求证:DA⊥平面PAC;(2)试在线段PD上确定一点G,使CG∥平面PAF,并求三棱锥如图,点C是以AB为直径的圆上一点,直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直,且DE//BC,DC⊥BC,DE=BC=2,AC=CD=3.(1)证明:EO//平面ACD;(2)证明:平面ACD⊥平面BCDE;(3)求三如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO,试确定点O的位置;(2)求证平面PA如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC=.(Ⅰ)若F为BP的中点,求证:EF∥平面PDC;(Ⅱ)若,求直线AF与平面P如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC=.(Ⅰ)求证:EF∥平面PDC;(Ⅱ)若∠CDP=90°,求证BE⊥DP;(Ⅲ)若∠CDP=在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,,,G是BC的中点.(Ⅰ)求证:平面DEG;(Ⅱ)求证:BD⊥EG;(Ⅲ)求多面体ADBEG的体积。在边长为6cm的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别MN与平面AEF的位置关系,并如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,且AB=1,AD=CD=2,E在线段PD上.(Ⅰ)若E是PD的中点,试证明:AE∥平面PBC;(Ⅱ)若异面直线BC与PD所成的角为60°,求四棱锥P-如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2.(1)求证:;(2)当时,求二面角的余弦值.关于直线与m,n面α,β,γ有以下三个命题⑴若m∥α,n∥β且α∥β则m∥n⑵若α∩β=m,α⊥γ,β⊥γ则m⊥γ⑶若m⊥α,n⊥β,且α⊥β则m⊥n其中真命题有[]A.1个B.2个C.3个D.0个下图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.(1)求证:BE∥平面PDA;(2)求四棱锥B-CEPD的体积.如图1是正方形ABCD与顶角为120°的等腰△ABE组成的一个平面图形,其中AE=AB=4,翻折正方形所在平面ABCD使得与平面AEB垂直(如图2),F为线段EA的中点.(1)若H是线段BD上的中点,求已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直,且AB⊥AD,AB∥CD,且AD=DC=2,AB=4.(Ⅰ)求证:AB⊥PD(Ⅱ)求点C到平面PAB的距离(Ⅲ)在线段PD上是否存在一点M,使得AM∥平面PBC如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF=2.(1)求证:AC∥平面BEF;(2)求四面体BDEF的体积.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求三棱锥E﹣ABC的体积V.求下面图形的周长和面积.李娜攒了18元钱,给灾区小朋友捐了56,捐了多少钱?如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)(1)求证:AE∥平面DCF;(2)若M是AE的中点,AB=3,∠CEF=90°,求证:平面AEF⊥平面BMC.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小.已知:如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是DA、DC的中点.求证:EF∥平面ABC.如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO=2,AB=2,求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE.下面四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是______已知:平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β.求证:a∥α.如图,PA、PB、PC两两垂直,G是△PAB的重心,E是BC上的一点,且CE=13BC,F是PB上的一点,且PF=13PB(1)求证:GE||平面PAC;(2)求证:GF⊥平面PBC.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)证明E,F,G,H四点共面;(2)证明BD∥平面EFGH.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,请判断向量EF与AD+BC是否共线?“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件直线a∥平面α,P∈α,那么过P且平行于a的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在平面α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在平面α内如图,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求证:CD⊥平面PAC.如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直,M,Q分别为PC,AD的中点.(1)求证:PA∥平面MBD;(2)求:A到平面PBD的距离.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:(1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,点E是PB的中点.(I)证明:BC⊥PC;(Ⅱ)证明:AE∥平面PDC;(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBC.如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;(Ⅱ)求证:AC∥平面BEF.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC.(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAC;(Ⅱ)若E为AD的中点,求证:CE∥平面PAB.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点.(1)求证:EO‖平面PCD;(2)图中EO还与哪个平面平行?已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点.(1)求证:BC⊥平面AEC;(2)判断直线EM是否平如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;(Ⅱ)设M为线段DE的如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.如图,矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直,E是QD的中点(I)求证:QB∥平面AEC;(Ⅱ)求证:平面QDC⊥平面AEC.一个多面体的直观图和三视图(主视图、左视图、俯视图)如图所示,M、N分别为A1B、B1C1的中点.(Ⅰ)求证:MN∥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:MN⊥平面A1BC.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.(I)求证:MN∥平面PAD;(Ⅱ)若∠PDA=45°,求MN与平面ABCD所成角的大小.如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF∥..12BC.(I)证明FO∥平面CDE;(II)设BC=3CD,证明EO⊥平面CDF.A是平面BCD外一点,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在直线AB,AC,AD,BC,BD,DC中,与平面α平行的直线有()A.0B.1条C.2条D.3条如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE.如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且AMSM=DNNB,求证:MN∥平面SBC在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是______.如图,设a、b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证:P是MN的中点.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,AD上的点,若AMMB=ANND,P为线段CD上的一点(P与D不重合),过M,N,P的平面交平面BCD于Q,求证:BD∥PQ.如图,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.求证:(1)AB⊥平面CDE;(2)平面CDE⊥平面ABC;(3)若G为△ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF∥平面CDE.已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为CD的中点,沿AE将△AED折起,使DB=23,O、H分别为AE、AB的中点.(1)求证:直线OH∥面BDE;(2)求证:面ADE⊥面ABCE.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1).将四边形ABCD沿FG折成空间图形(如图2)后,(1)求证:DE⊥FG;(2)线段BG上是否存在一点M,已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,O在AB上,且OB=OC=23AB,又P0⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=12PO.(I)求证:PB∥平面COD;(II)求证:PD⊥平面COD.如图,已知PA⊥正方形ABCD所在平面,E、F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.(1)求证:EF∥面PAD.(2)求证:面PCE⊥面PCD.如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC,(1)求证:BE∥平面PDA;(2)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB.如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心.如图:(1)证明:PQ∥平面AA1B1B;(2)求线段PQ的长.如图,四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,M为PA的中点.(Ⅰ)求证:PC∥平面BDM;(Ⅱ)若PA=AC=2,BD=23,求直线BM与平面PAC所成的角.下列说法中正确的是()A.平行于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,且F是CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求四面体BCEF的体积.设α、β表示平面,l表示不在α内也不在β内的直线,给出下列命题:①若l⊥α,l∥β,则α⊥β;②若l∥β,α⊥β,则l⊥α;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的命题是()A.①③B.①②C.②③D.①②③如图:△ABC是边长为2的正三角形,EC⊥面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.①求证:DE=DA;②求证:DM∥面ABC;③求C到面ADE的距离.已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(Ⅰ)求证:BC⊥平面CDE;(Ⅱ)求证:FG∥平面如图,平面内两正方形ABCD与ABEF,点M、N分别在对角线AC、FB上,且AM:MC=FN:NB,沿AB折成直二面角.(1)证明:折叠后MN∥平面CBE;(2)若AM:MC=2:3,在线段AB上是否存在一点G,使如图,圆锥SO中,AB、CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB,P为SB的中点.求证:SA∥平面PCD.已知直线m∥平面α,则下列命题中正确的是()A.α内所有直线都与直线m异面B.α内所有直线都与直线m平行C.α内有且只有一条直线与直线m平行D.α内有无数条直线与直线m垂直如图,PA⊥菱形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PBD⊥平面PAC.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=12BC.(I)证明:FO∥平面CDE;(II)设BC=3CD,证明EO⊥平面CDF.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PBC;(Ⅱ)若PC=2,求PA与平面PBC所成角的正弦值.在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)BD⊥面EFC.如图所示,PA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,且AB=AC=2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF=2FB.(1)求证:FG∥平面PAB;(2)求证:FG⊥AC;(3)当PA长度为多少时已知空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,(1)求证:BC∥平面AFE;(2)平面ABE⊥平面ACD.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.(1)求证:BD∥平面EFGH;(2)求证:四边形EFGH是矩形.如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,BC=2,E是PC的中点.(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;(Ⅱ)求异面直线AD与BE所成角的大小.