直线与平面平行的判定与性质的试题列表
直线与平面平行的判定与性质的试题100
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点,(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求证:AB1∥平面A1DC;(Ⅲ)求二面角D-A1C-A的余弦值。设m、n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;其中正确命有A、B两个正方形,A正方形的边长是8厘米,B正方形的边长是10厘米。(1)A、B两个正方形的周长之比和它们的边长之比能组成比例吗?为什么?(2)A、B两个正方形的面积之比和它们的如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E、F分别是棱B1C1、A1A的中点,(Ⅰ)求A1A与底面ABC所成的角;(Ⅱ)证4x=2.5×16,x的值是()。数一数,填一填。(1)(2)()()如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm)。(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(错对我知道,对的打“√”,错的打“×”(1)钝角比直角和锐角都大。[](2)蹬自行车时齿轮的转动是平移。[](3)5个5相加是5+5=10。[](4)208读作二千零八。[](5)两个锐角拼在一起是一个过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有[]A.4条B.6条C.8条D.12条如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点,(Ⅰ)求证:平面MCN⊥平面ABB1A1;(Ⅱ)求证:CN∥平面AMB1。已知如图几何体,正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AF=2AB=2AD,M为AF的中点,BN⊥CE,(Ⅰ)求证:CF∥平面BDM;(Ⅱ)求二面角M-BD-N的大小。在如图所示的多面体中,AA1∥BB1,CC1⊥AC,CC1⊥BC,(1)求证:CC1⊥AB;(2)求证:CC1∥AA1。如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF=2,(Ⅰ)求证:AC∥平面BEF;(Ⅱ)求四面体BDEF的体积。在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点,(1)求证:OD∥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC;(3)求三棱锥P-ABC的体积。星辰小学一年级和六年级学生牙齿健康状况检查结果如下图。(1)一年级学生龋齿颗数的众数是(),六年级学生龋齿颗数的众数是()。(2)六年级没有龋齿的学生人数占六年级学生人数的式子(36-4a)÷8,当a等于()时,式子的结果是0;当a等于()时,式子的结果是1。如果6:a=a:b=2:3,那么a=(),b=()。如图,在空间四边形ABCD中,E、H分别为AB、AD的中点,平面α过EH与边BC、CD分别交于F、G,求证:EH∥FG。如图,三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是[]A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.A1C1∥平面AB1ED.AE,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面是边长是1的正方形,侧棱PA与底面成45°的角,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积;(3)二面角P-AC-D设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个结论:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD。如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。(1)求证:BC1∥平面CA1D;(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B。已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点,(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小。若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;其中正确命题的如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,平面PAD⊥平面ABCD,E、F分别为PC和BD的中点,(1)证明:EF∥平面PAD;(2)证明:平面PDC⊥平面PAD。菱形ABCD所在平面外一点P,已知PA=PC,(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)在PC上是否存在一点E,使PA∥平面EBD,证明你的结论。356中的“3”表示[]A.3个百B.3个十C.3个一如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D为AB中点,(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求二面角C1-AB-C的余弦值。已知:正方体ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E为棱CC1的中点。(1)求证:B1D1⊥AE;(2)求证:AC∥平面B1DE;(2)求三棱锥A-BDE的体积。如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,M为PD的中点,(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;(Ⅲ)证明:平面PAD⊥平设α,β为互不重合的平面,m,n为互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m⊥α,,则m⊥n;②若,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α⊥β,α∩β=m,,n⊥m,则n⊥β;④若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β;其中正已知m,n为直线,α,β为平面,给出下列命题:①;②;③;④;其中的正确命题序号是[]A.②③B.③④C.①②D.①②③④如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点,求证:(1)EF∥侧面PAD;(2)PA⊥平面PDC。已知梯形ABCD中,BC∥AD,BC=AD=1,CD=,G,E,F分别是AD,BC,CD的中点,且CG=,沿直线CG将△CDG翻折成△CD′G,(Ⅰ)求证:EF∥平面AD′B;(Ⅱ)求证:平面CD′G⊥平面AD′G。一个多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图如图1和2所示,其中正(主)视图、侧(左)视图均为边长为a的正方形,(1)请在图2指定的位置画出多面体的俯视图;(2)若多面体底面对角将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=,(Ⅰ)求证:DE⊥AC;(Ⅱ)求DE与平面BEC所成角的正弦值;(Ⅲ)直线BE上是否存在一点M,使得CM∥平面如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点,(Ⅰ)求证:SA∥平面PCD;(Ⅱ)求圆锥SO的表面积;(Ⅲ)求异面直线SA与PD所成角的正切值。已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是[]A、若m∥α,n∥α,则m∥nB、若α⊥β,m⊥β,mα,则m∥αC、若α⊥β,m∥α,则m⊥βD、若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线,mα,如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=2,M,N分别为PA,BC的中点,(Ⅰ)证明:MN∥平面PCD;(Ⅱ)求MN与平面PAC所成角的正切值。如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2,(1)求证:AE∥平面DCF;(2)求证:EF⊥平面DCE;(3)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?已知m,n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是[]A.α,m∥β,n∥βα∥βB.α∥β,m∥nC.m⊥α,m⊥nn∥αD.n∥m,n⊥αm⊥α已知两条直线a,b,a∥平面α,bα,则直线a与b的位置关系是()。在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2,(1)求证:PC⊥AE;(2)求证:CE∥平面PAB;(3)求三棱锥P-ACE的体积V。如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点D是AB的中点。(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1。正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求平面BDC与平面DE已知α、β是两个不同平面,m、n是两条不同直线,则下列命题不正确的是[]A.α∥β,m⊥α,则m⊥βB.m∥n,m⊥α,则n⊥αC.n∥α,n⊥β,则α⊥βD.m∥β,m⊥n,则n⊥β如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点。(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC。三角形ABC的三条边的和是11厘米,其中长边和短边分别是5厘米和2厘米。你能画出这个三角形,还能画长边上的高吗?算算第三条边长是多少?如图所示,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;(2)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面ACB1平行?证明你的结论如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=,点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙),(Ⅰ)求证:AB∥平面DN一个多面体的直观图(正视图,侧视图,俯视图)如图所示,M,N分别为A1B,B1C1的中点,(Ⅰ)求证:MN∥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:MN⊥平面A1BC;(Ⅲ)求二面角A-A1B-C的大小。因为A·B=4.2,所以A和B成()比例关系。0.24×0.3的积共有三位小数。[]如图,正四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形,O为底面对角线交点,侧棱长是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点,(Ⅰ)求证:AC⊥SD;(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,F为SD中点,求证:BF∥平面PAC在全部的自然数里,不是奇数就是偶数。[]已知两条不同直线m、l,两个不同平面α、β,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l∥α,则l平行于α内的所有直线;③若mα,lβ且l⊥m,则α⊥β;④若lβ,l⊥α,则α⊥β用竖式计算,并验算。(1)95.34+16.25=(2)40.2-16.89=判断下列命题,正确的个数为①直线a与平面α没有公共点,则a∥α;②直线a平行于平面α内的一条直线,则a∥α;③直线a与平面α内的无数条直线平行,则a∥α;④平面α内的两条直线分别平行把x千克糖放入y千克水中,那么糖与糖水的比是[]A.x:yB.y:xC.x:(x+y)D.y:(x+y)如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证:(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB。设α、β、γ表示是三个不同的平面,a、b、c表示是三条不同的直线,给出下列五个命题:(1)若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;(2)若a∥α,b∥α,β∩α=c,,则a∥b;(3)若a⊥b,a⊥c,;(4)若α⊥γ,如图,三棱锥A-BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F分别是棱AB、CD的中点,连结CE,G为CE上一点,(1)求证:平面CBD⊥平面ABD;(2)若GF∥平面ABD,求的值。如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点,(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BEC;(Ⅲ)求平面BEC与平面ADEF所成锐如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BCA=90°,E、M分别是CC1、A1B1的中点,(1)求证:A1B⊥C1M;(2)求证:C1M∥平面AB1E。下列命题正确的[]A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.与某一平面成等角的两条直线平行D.垂直于同一直线的两条直线平行已知直线a,b,平面α,β,γ,下列说法:(1)若a∥α,a∥b,bα,则b∥α;(2)若α∥β,β∥γ,则α∥γ;(3)若a⊥α,b⊥a,bα,则b∥α;(4)若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β,其中正确的有()个[]A.1B.2C.已知多面体ABCDFE中,四边形ABCD为矩形,AB∥EF,AF⊥BF,平面ABEF⊥平面ABCD,O、M分别为AB、FC的中点,且AB=2,AD=EF=1。(Ⅰ)求证:AF⊥平面FBC;(Ⅱ)求证:OM∥平面DAF;(Ⅲ)设平面已知a、b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:①若α∥β,a,则a∥β;②若a、b与α所成的角相等,则a∥b;③若α⊥β、β⊥γ,则α∥γ;④若a⊥α,a⊥β,则α∥β。其中正确的命题的序号是()。如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点。求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD。如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=,E为线段AB的中线,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面ADE⊥平面BCD,F为线段AC的中点。(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点两位数乘两位数,积可能是()位数,也可能是()位数。在空间中,设m表示直线,α,β表示不同的平面,则下列命题正确的是[]A.若α∥β,m∥α,则m∥βB.若α⊥β,m⊥α,则m∥βC.若α⊥β,m∥α,则m⊥βD.若α∥β,m⊥α,则m⊥β如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,点E是棱AB的中点。(Ⅰ)求证:B1C∥平面A1DE;(Ⅱ)求异面直线B1C与A1E所成的角的大小。设a,b是两条直线,α,β是两个平面,下列四个命题中,错误的是[]A.若a∥α,α⊥β,则a⊥βB.若a⊥b,a⊥α,bα,则b∥αC.若a⊥α,aβ,则α⊥βD.若a⊥β,α⊥β,则a∥α或aα如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,S是侧棱PB的中点。(Ⅰ)试判断:①直线PD与平面ASC的位置关系;②平面ASC与平面ABCD的位置关系(不要求说明理如图,ABCD-A1B1C1D1为长方体。(Ⅰ)求证:B1D1∥平面BC1D;(Ⅱ)若BC=CC1,求直线BC1与平面ABCD所成角的大小。如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分别为BC,PC的中点。(Ⅰ)求证:EF∥平面PBD;(Ⅱ)如果AB=PD,求EF与平面ABCD所成角的正切值。如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,对角线相交于点O,PA⊥底面ABCD。(Ⅰ)当E为PA的中点时,求证:PC∥平面EBD;(Ⅱ)在侧棱PB上是否存在一点F,使得OF⊥AB,若存在,请说出点已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题:①若m//n,nα,则m∥α;②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;③若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,则如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D、E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于G。(1)求证:A1B⊥AD;(2)求证:CE∥平面AB1D。如图,三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形。(1)求证:DM//平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC;(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积。观察并回答问题。(1)从上图可以看出,以动物园、植物园、小丽家之间连线组成了一个()角三角形。(2)∠1=(),∠2=()。(3)动物园在小丽家的()面,植物园在动物园的()面。(4)小丽准如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是,D是AC的中点。(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求二面角A1-BD-A的大小;(3)求直线AB1与平面A1BD所成已知如图几何体,矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AF=2AB=2AD,M为AF的中点,BN⊥CE。(Ⅰ)求证:CF∥平面MBD;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDN。两个数相加,交换两个加数的位置,和[]A.不变B.变大C.变小如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;(Ⅱ)证明:PB⊥平面DEF。如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是[]A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AC1与CB所成的角为60°如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1,(Ⅰ)求证:AF⊥平面CBF;(Ⅱ)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示),(1)求证:AE∥平面DCF;(2)当AB的长为,∠CEF=90°时,求二面角A-EF-C的大小。如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,且AD=2,AB=AA1=3,∠BAD=60°,E为AB的中点,(Ⅰ)证明:AC1∥平面EB1C;(Ⅱ)求直线ED1与平面EB1C所成角的正弦值。如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AA1=a,E为CC1的中点,AC∩BD=O,(Ⅰ)证明:OE∥平面ABC1;(Ⅱ)证明:A1C⊥平面BDE。如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点。(1)求证:BD⊥平面CDE;(2)求证:GH∥平面CDE;(3)求三棱锥D设m、n是不同的直线,α、β是不同的平面,下列四个命题中,正确的是[]A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥β,n⊥β,则m∥nC.若,则m⊥βD.若,m∥β,n∥β,则α∥β关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是[]A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,l⊥m,则m⊥α如图,三棱锥A-BCD中,AD、BC、CD两两互相垂直,且AB=13,BC=3,CD=4,M、N分别为AB、AC的中点,(1)求证:BC∥平面MND;(2)求证:平面MND⊥平面ACD;(3)求三棱锥A-MND的体积。如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC,(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;(2)点F在BE上,若DE∥平面ACF,求的值。如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点,且CC1=AC,(Ⅰ)求证:CN∥平面AMB1;(Ⅱ)求证:B1M⊥平面AMG。如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,P是BC的中点,侧面ACC1A1⊥底面ABC,且侧棱AA1与底面ABC所成的角为60°,(Ⅰ)证明:直线A1C∥平面AB1P;(Ⅱ)求直线AB1与平面ACC1A1所成
直线与平面平行的判定与性质的试题200
在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O是AB中点。(1)在棱PA上求一点M,使得OM∥平面PBC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC。如图,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=6,CD⊥AP于D,现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A,设E,F,G分别是PD,PC,BC的中点,(Ⅰ)求证:PA∥平面EFG;(Ⅱ)若M为线段CD上的动设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面[]A.若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥nB.若m∥α,n∥β且α⊥β,则m⊥nC.若m⊥α,n∥β且α∥β,则m∥nD.若m⊥α,n⊥β且α∥β,则m∥n如图三棱柱ABC-A1B1C1中,每个侧面都是正方形,D为底边AB中点,E为侧棱CC1中点,AB1与A1B交于点O。(Ⅰ)求证:CD∥平面A1EB;(Ⅱ)求证:平面AB1C⊥平面A1EB。设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,l⊥m,则l∥α;②若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β;③若α∥β,l⊥α,m∥β,则l⊥m;④若α∥β,l∥α,mβ,则l∥m;其下图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2,(1)求证:BE∥平面PDA;(2)求四棱锥B-CEPD的体积。在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形。AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2,(Ⅰ)求证:BE∥平面APD;(Ⅱ)求证:BC⊥平面PBD;(Ⅲ)设Q为侧棱如图,在平行四边形ABCD中,CD=1,∠BCD=60°,且BD⊥CD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点。(1)求证:BD⊥平面CDE;(2)求证:GH∥平面CDE;(3)求三棱锥D已知三条直线m、n、l和三个平面α、β、γ,下面四个命题中正确的是[]A.B.C.D.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,E、F分别是棱CC1、AB中点,(1)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明;(2)求四棱锥A-ECBB1的体积。已知三条直线m、n、l和三个平面α、β、γ,下面四个命题中正确的是[]A.B.C.D.下图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2,(1)求四棱锥B-CEPD的体积;(2)求证:BE∥平面PDA。如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1,(Ⅰ)求证:AF⊥平面CBF;(Ⅱ)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题:①若m∥n,nα,则m∥α;②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;③若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,则n已知直三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示,且D是BC的中点,(Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1;(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;(Ⅲ)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线a,b,则下列四个命题正确的是[]A.若a∥b,,则a∥αB.若,a∥β,b∥β,则α∥βC.若,a⊥b,则a⊥βD.若α∥β,,a∥α,则a∥β如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2,(Ⅰ)求证:平面BCD⊥平面ABC;(Ⅱ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅲ)求四面体B-C.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两丽垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为[]A.O-ABC是正三棱锥B.直线OB∥平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,N为线段PB的中点,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC。(1)求证:BE∥平面PDA;(2)求证:EN⊥平面PDB;(3)若,求平面PBE与平面ABCD所成的二如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点。(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-M如图:、是以为直径的圆上两点,,,是上一点,且,将圆沿直径折起,使点在平面的射影在上.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD。(Ⅰ)求证:BE=DE;(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC。如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D。(I)求证:AD⊥平面BCC1B1;(II)设E是B1C1上的一点,当的值为多少时,A1E∥平面ADC1?请给出证明。设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,给出下列四个命题,正确命题的题号是()。①若l⊥m,mα,则l⊥α;②若l⊥α,l∥m,则m⊥α;③若l∥α,mα,则l∥m;④若l∥m,m∥α,则l∥m。如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF//AC,AB=,CE=EF=1⑴求证:AF//平面BDE⑵求证:CF⊥平面BDE如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长是2,D是棱BC的中点,点M在棱BB1上,且BM=B1M,又CM⊥AC1。(Ⅰ)求证:A1B∥平面AC1D;(Ⅱ)求三棱锥B1-ADC1体积。如图,已知⊥平面,∥,是正三角形,,且是的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面.如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是[]A.异面直线AD与CB1所成角为45°B.异面直线AC1与BD所成角为60°C.AC1平面CB1D1D.BD平面CB1D1在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).(1)求证:BF平面ACD;(2)求多如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.(1)求证:BE∥平面PDF;(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;(3)求二面角P﹣BC﹣A的关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是[]A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,m⊥l,则m⊥α如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,EF⊥PB交PB于点F.(1)若PD=DC=2,求三棱锥A﹣BDE的体积;(2)证明PA∥平面EDB;(3)证明PB⊥平面如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD的中点,.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求此多面体的体积.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面EFD.在空间中,下列命题正确的是[]A..若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面α内的一条直线平行,则m∥αC.若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,E是PD的中点,且PA=BC=AD.(1)求证:CE∥平面PAB(2)求证:CD⊥平面PAC(3)若PA=如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为DD1的中点.求证:(1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M、N分别为PA、BC的中点,且PD=AD=,CD=1(1)求证:MN∥平面PCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求三棱锥P﹣ABC的体积.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,,E,F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;(Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD;(Ⅲ)求二面角F﹣EC﹣D的大小.如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,且AB=AD=1,BC=3,SB与平面ABCD所成的角为45°,E为SD的中点.(Ⅰ)若F为线段BC上的一点且BF=BC,求证:EF∥平面SAB;(Ⅱ)求如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC中点.(1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;(2)求证:AB1∥平面BEC1;(3)若,求二面角E﹣BC1﹣C的大小.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;(Ⅲ)求如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是()。(把你认为正确的结论都填上)①BD∥平面CB1D1;②AC1∥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1(Ⅰ)求证:CD=C1D;(Ⅱ)求二面角A﹣A1D﹣B的平面角如图,若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是[如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.已知直线a,b,c,平面α,β,γ,并给出以下命题:①若aα,b∥α,则a∥b;②若aα,bβ,且α∥β;则a∥b;③若a∥α,b∥α,则a∥b;④若a⊥b,b∥c,则a⊥c;其中正确的命题有()。如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=2,CE∥AF,AC⊥CE,(I)求证:CM∥平面BDF;(II)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小;(III)求二面角A﹣DF﹣B的大小已知a、b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:①若α∥β,aα,则a∥β;②若a、b与α所成角相等,则a∥b;③若α⊥β、β⊥γ,则α∥γ④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.其中正确的命题的序号是()。设α、β、γ是互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出四个命题:①若m⊥α,m⊥β,则α∥β②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若m⊥α,m∥β,则α⊥β④若m∥α,n⊥α,则m⊥n其中真命题的序号是()如图是正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AA1=3,AB=2,若N为棱AB中点.(1)求证:AC1∥平面CNB1;(2)求四棱锥C1﹣ANB1A1的体积.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小.如图是正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AA1=3,AB=2,若N为棱AB中点.(1)求证:AC1∥平面CNB1;(2)求四棱锥C1﹣ANB1A1的体积.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2.,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于().如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点。(1)求证AC⊥BC1(2)求证AC1∥平面CDB1已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求PC与平面ABCD所成的角的大小;(3)求二面角P﹣EC﹣D的已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求PC与平面ABCD所成的角的大小;(3)求二面角P﹣EC﹣D的设m、n是两条不同的直线α,β,λ,是三个不同的平面,下列四个命题中正确的序号是①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α⊥λ,β⊥λ,则α∥β③若m∥α,n∥α,则m∥n④若α∥β,β∥λ,m⊥α,则m⊥λ[]A.①和②B设m、n是两条不同的直线α,β,γ,是三个不同的平面,下列四个命题中正确的序号是①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α⊥γ,β⊥γ则α∥β③若m∥α,n∥α,则m∥n④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ[]A.①和②B.②如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=CD,E是PC的中点.(1)证明PA∥平面BDE;(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=CD,E是PC的中点.(1)证明PA∥平面BDE;(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且BD平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=l,BC=PC,DB=2(Ⅰ)证明PA∥平面BDE;(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD:(Ⅲ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC;M,N,P分别是棱BC,CC1,B1C1的中点,(Ⅰ)求证:PQ∥平面ANB1;(Ⅱ)求证:平面AMN⊥平面AMB1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=,E为线段PD上一点,G为线段PC的中点.(1)当E为PD的中点时,求证:BD⊥CE;(2)当时,求证:BG平面AEC。如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积是等腰直角三角形,∠A1C1B1=90°,A1C1=1,AA1=,N、M分别是线段B1B、AC1的中点.(I)证明:MN∥平面ABC;(II)求A1到平面AB1C1的距离(III)求二面如图,在多面体ABCD﹣EF中,四边形ABCD为正方形,EFAB,EF⊥EA,AB=2EF,∠AED=90°,AE=ED,H为AD的中点.(Ⅰ)求证:EH平面FAC;(Ⅱ)求证:EH⊥平面ABCD;(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的大小.如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是[]A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于点D.(1)求证:PB1平面BDA1;(2)求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值.如图,A、B为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是A、C的中点,DE⊥面CB(1)证明:DE∥面ABC;(2)若B=BC,求C与面BC所成角的正弦值.如图l,在正方形ABCD中,AB=2,E是AB边的中点,F是BC边上的一点,对角线AC分别交DE、DF于M、N两点.将ADAE,CDCF折起,使A、C重合于A点,构成如图2所示的几何体.(I)求证:A′D⊥如图所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,∠BCG=30°.(1)求证:EG⊥平面ABCD(2)若M,N分别是EB,CD的中点,求证MN∥平面EAD.(3)若设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,bα则b∥α②若a∥α,a⊥β,则α⊥β③若a⊥β,α⊥β则a∥α④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β其中正确命题的个数为[]A如图,多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示,M,N分别为AF,BC的中点.(1)求证:MN∥平面CDEF;(2)求多面体A﹣CDEF的体积.如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,侧面APD为等腰直角三角形,PA⊥PD,平面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PC上不同于端点的一点.(1)求证:PA⊥DE:(2)设AD=2BC=2,CD=,求三棱锥D﹣PBC一个多面体的直观图及三视图分别如图所示(其中正视图和侧视图均为矩形,俯视图是直角三角形),M、N分别是AB1、A1C1的中点,MNAB1.(1)求实数a的值并证明MN平面BCC1B1;(2)在上如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP平面EAB?请证明你的结论;(2)求平面EBD与平面ABC所如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:DE⊥平面PBC.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求证;AE∥平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥C﹣BGF的体积.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2,M是BC的中点.(Ⅰ)求证:A1C∥平面AB1M;(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣M的大小;(Ⅲ)求点C1到平面AB1M的距离.如图,在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,E、F为别为PD、AB的中点,且PA=AB=1,BC=2,(1)求四棱锥E﹣ABCD的体积;(2)求证:直线AE∥平面PFC.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M、N分别在线段AB1、BC1上,且AM=BN.以下结论:①AA1⊥MN;②MN∥平面A1B1C1D1;③MN与A1C1异面;④点B1到面BDC1的距离为;⑤若点M、N分别为线段AB1、BC1的如图,在六面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=EF=1,AB=AD=DE=DG=2.(1)求证:平面BEF⊥平面DEFG;(2)求证:BF∥平面ACGD;(3)求三棱锥A正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M、N分别在线段AB1、BC1上,且AM=BN.以下结论:①AA1⊥MN;②MN∥平面A1B1C1D1;③MN与A1C1异面;④点B1到面BDC1的距离为;⑤若点M、N分别为线段AB1、BC1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,D为AB边中点,且CC1=2AB.(Ⅰ)求证:平面C1CD⊥平面ABC;(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1;(Ⅲ)求三棱锥D﹣CBB1的体积.如图,已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD﹣A'B'C'D'切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,C1,D1均为原长方体上底面A'B'如图,已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥PC,D为AB中点,M为PB的中点,且AB=2PD.(Ⅰ)求证:DM∥面PAC;(Ⅱ)找出三棱锥P﹣ABC中一组面与面垂直的位置关系,并给出证明(只需找到一组即可)如图:点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:①三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②A1P∥面ACD1;③DP⊥BC1;④面PDB1⊥面ACD1.其中正确的命题的序号是().如图,正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为1,线段B'D'上有两个动点E,F且,则下列结论中错误的是[]A.AC⊥BEB.三棱锥A﹣BEF的体积为定值C.EF∥平面ABCDD.异面直线AE,BF所成的角如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,AF=2,CE=3,BD=1,O为BC的中点.(1)求证:AO∥平面DEF;(2)求证:平面DEF⊥平面BCE如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,E、F分别为PC、BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P﹣AC﹣D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是设m、n是两条不同的直线,α、β、γ,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是[]A.若α⊥β,m⊥α,则m∥βB.若m⊥α,n∥α,则m⊥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,∠BAD=90°,BC∥AD,且PA=AB=BC=1,AD=2.(1)设M为PD的中点,求证:CM∥平面PAB;(2)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面在四棱柱ABC﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点.(I)若点E是棱CC1的中点,求证:EF平面A1BD;(II)试确定点在直角梯形PBCD中,∠D=∠C=,BC=CD=2,PD=4,A为PD的中点,如图1.将△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,点E在SD上,且,如图2(1)求证:SA⊥平面ABCD;(2)求二面角E﹣AC﹣D的正切值在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.(1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC;(2)求证:A1C1⊥AB;(3)求点B1到平面ABC1的距离.
直线与平面平行的判定与性质的试题300
已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.(Ⅰ)求证:PA平面BFD;(Ⅱ)求二面角P﹣BF﹣D的大小.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且PD=AD=1.(1)求证:MN∥平面PCD;(2)求三棱锥P﹣ABC的体积.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BC;(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN∥平面ADE.如图,正方形ABDE与等边△ABC所在平面互相垂直,AB=2,F为BD中点,G为CE中点.(1)求证:FG∥平面ABC;(2)求三棱锥F﹣AEC的体积.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H是BE的中点,G是AE,DF的交点.(1)求证:GH平面CDE;(2)求证:BD⊥平面CDE.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC中点.(1)求证:直线AF∥平面BEC1;(2)求平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.(I)求证:A1C∥平面AB1D;(II)求二面角B﹣AB1﹣D的大小.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求证:AB1平面A1DC;(Ⅲ)求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值.已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,且PA=AB=1,BC=2.E,F分别为BC,PD的中点.①求证:EF∥平面PAB.②求证:DE⊥平面PAE.③求二面角P﹣DE﹣A的余弦值.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.(Ⅰ)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,,,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF;(2)设,当λ取何值时,二面角A﹣EF﹣C的大小为?已知a、b为直线,α,β,γ为平面,有下列四个命题:①a∥α,b∥α,则a∥b②α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③a∥α,α∥β,则α∥β④a∥b,bα,则a∥α其中正确命题的个数是().在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,.(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1;(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.已知a、b为直线,α,β,γ为平面,有下列四个命题:①a∥α,b∥α,则a∥b②α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③a∥α,α∥β,则α∥β④a∥b,bα,则a∥α其中正确命题的个数是().在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:PC⊥AE;(2)求证:CE∥平面PAB;(3)求三棱锥P﹣ACE的体积V.如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB,E是PA的中点.(Ⅰ)判断直线PC与平面BDE的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)求二面角E﹣BD﹣A的大小.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)平面EFC⊥面BCD.如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥DC.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)求证:AF平面CBF;(2)设FC的中点为M,求证:OM平面DAF;(3)设平如图,棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:平面AB1C∥平面DA1C1(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点如图,在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证:(Ⅰ)EF∥平面PAB;(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(Ⅰ)证明:直线MN∥平面OCD;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅲ)求如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,AB=AD,E是线段PD上的点,F是线段AB上的点,且(1)判断EF与平面PBC的关系,并证明;(2)当λ为何值时,DF⊥平面P如图①,E,F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点,∠B=90°,沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1﹣EF﹣B,若M为线段A1C中点.求证:(1)直线FM∥平面A1EB;(2)平面A1FC⊥平面A1如图,在四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BC;(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN∥平面ADE.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为DC1的中点.(1)求证:BD1∥平面C1DE;(2)求三棱锥A﹣BDF的体积.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为DC1的中点.(1)求证:BD1平面C1DE;(2)求三棱锥A﹣BDF的体积.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC.(1)证明:FO∥平面CDE;(2)设BC=CD,证明EO⊥平面CDF.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1;(2)求证:EF⊥B1C;(3)求三棱锥的体积.如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1,M为CC1的中点.(1)求证:BM⊥AB1;(2)试在棱AC上确定一点N,使得AB1∥平面BMN.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D、E分别在边BC、B1C1上,CD=B1E=AC,∠ACD=60°.求证:(1)BE∥平面AC1D;(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2BC,OB=OD,M是OD的中点.求证:(Ⅰ)直线MC∥平面OAB;(Ⅱ)直线BD⊥直线OA.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)若E,F分别为AB,AC的中点,求证:EF∥平面BDC;(2)证明:平面ADB⊥平面BDC;(3)设BD=1,求a,b,c分别表示三条直线,M表示平面,给出下列四个命题:①若aM,bM,则ab;②若bM,ab,则aM;③若a⊥c,b⊥c,则ab;④若a⊥M,b⊥M,则ab.其中正确命题的个数有()个。如图,平面PAC⊥平面ABC,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO的中点,AB=BC=AC=4,.求证:(1)PA⊥平面EBO;(2)FG∥平面EBO;(3)求三棱锥E﹣PBC的体积.空间四边形ABCD中,E,F,H,G分别为边AB,AD,BC,CD的中点,则BD与平面EFGH的位置关系是()。如图,斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C是菱形,,E、F分别是A1C1、AB的中点.求证:(1)EF∥平面BB1C1C;(2)平面CEF⊥平面ABC.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是()(写出所有符合要求的图形序号).如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:EF⊥平面BCD.在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)BD⊥面EFC.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面EFD.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥DC1;(2)如果E是B1C1的中点,求证:A1E平面ADC1.如图,已知四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE平面BDF;(2)求三棱锥D﹣ACE的体积.关于直线m,n和平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n;②若m∥n,mα,n⊥β,则α⊥β;③若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β;④若m⊥n,α∩β=m,则n⊥α或n⊥β.其中正确的命题序号是如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E、F分别为AB、AA1的中点.(1)求证:直线EF∥平面BC1A1;(2)求证:EF⊥B1C.如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.(I)设点O是AB的中点,证明:OC平面A1B1C1;(I如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;(Ⅱ)求锐二面角A﹣如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA⊥AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证:BC∥平面EFG;(2)求三棱锥E﹣AFG的体积.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=1,AD=2,M为PD中点.(Ⅰ)求证:MC∥平面PAB;(Ⅱ)在棱PD上找一点Q,使二面角Q﹣AC﹣D的正切值为.已知四边形ABCD满足ADBC,,E是BC的中点,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE,使面B1AE⊥面AECD,F为B1D的中点.(Ⅰ)求四棱B1﹣AECD的体积;(Ⅱ)证明:B1E面ACF;(Ⅲ)求面ADB1与面ECB1所成二如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.(1)求证:DE⊥BE;(2)求四棱锥E﹣ABCD的体积;(3)设点M在线段AB上,且AM=MB,试在线段CE上确定设是直线,a,β是两个不同的平面[]A.若∥a,∥β,则a∥βB.若∥a,⊥β,则a⊥βC.若a⊥β,⊥a,则⊥βD.若a⊥β,∥a,则⊥β如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点。(1)证明:(i)EF∥A1D1;(ii)BA1⊥平面B如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(I)设E是DC的中点,求证:D1E∥平面A1BD;(II)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.如图,在正三棱柱ABC﹣中,点D是棱AB的中点,BC=1,A=.(1)求证:B∥平面DC;(2)求二面角D﹣C﹣A的大小.如图,在正三棱柱ABC﹣中,点D是棱AB的中点,BC=1,A=.(1)求证:B∥平面DC;(2)求二面角D﹣C﹣A的大小.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,,OA⊥底面ABCD,且OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)证明:直线MN∥平面OCD;(2)求点N到平面OCD的距离.如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点。(1)证明:MN′∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′-MNC的体积。(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为下列命题中正确的是[]A.如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行B.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.(Ⅰ)求证:CN⊥AB1;(Ⅱ)求证:CN∥平面AB1M.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AB⊥平面PBC;(Ⅱ)求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90°)的大小;(Ⅲ)在如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2(1)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA平面MQB;(2)在(1)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是线段A1B,B1C上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,下面四个结论:①EF⊥AA1;②EFAC;③EF与AC异面;④EF平面ABCD.其中一定正确的结论序号是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是线段A1B,B1C上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF⊥平面ABCD.其中一定正确的结论序号如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ABC为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(I)求证:AF平面BCE;(II)求二面角D﹣BC﹣E的正弦值.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面CB1D1;(Ⅱ)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ABC为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(I)求证:AF∥平面BCE;(II)求二面角D﹣BC﹣E的正弦值.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,梯形上底AD=1.(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值;(3)在PC上是否存如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。(3)若二面角A-如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=,点F是PD的中点,点E在CD上移动.(1)当点E为CD的中点时,试判断EF与平面PAC的关系,并说明理由;(2)求证:PE如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',点M,N分别为A'B和B'C'的中心。(1)证明:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H是BE的中点,G是AE,DF的交点.(1)求证:GH∥平面CDE;(2)求证:BD⊥平面CDE.已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点.(1)求证:BC⊥平面AEC;(2)求VB﹣AEC;(3)判如图,在直三棱柱ABC﹣中,AB=AC,点D是BC的中点.(1)求证:B∥平面AD;(2)如果点E是的中点,求证:平面BE⊥平面BC.如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)求证:AE∥平面BFD.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点。求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)平面EFC⊥面BCD.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;(3)求四面体BCDF的体积.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2a,AB=a,PA⊥平面ABCD,F是线段BC的中点.H为PD中点.(1)证明:FH∥面PAB;(2)证明:PF⊥FD;(3)若PB与平米ABCD所成的角为45°,求二如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:PB⊥平面EFD.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求三棱锥E﹣ABC的体积V.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,(1)证明:BD∥面AB1D1;(2)证明:A1C⊥面AB1D1.如图,过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()条.如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直,已知AB=2,EF=1.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ADF;(Ⅱ)求BF与平面ABCD所成的角;(Ⅲ)在DB上是否存在一如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点,求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE。如图,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面ABCD为菱形,∠DAB=120°,E为线段CC1的中点,F为线段BD1的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面ABCD;(Ⅱ)当的比值为多少时,DF⊥平面D1EB,并说明理由.如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,AC交BD于点O,PA⊥面ABCD,E是棱PB的中点.求证:(1)EO∥平面PCD;(2)平面PBO⊥平面PAC.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求证;AE∥平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥C﹣BGF的体积.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P是线段B1C上的一个动点,下列命题错误的是[]A.直线AD1与A1P所成的角的大小不变B.点P到平面ABCD的距离与点P到直线C1D1的距离相等,这样的P点恰有2在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P是线段B1C上的一个动点,下列命题错误的是[]A.直线AD1与A1P所成的角的大小不变B.点P到平面ABCD的距离与点P到直线C1D1的距离相等,这样的P点恰有2如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为AD1、BD的中点.(1)求证:EF∥平面B1D1C;(2)求二面角B1﹣D1C﹣A的大小;(3)求三棱锥B1﹣ACD1的体积.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为AD1、BD的中点.(1)求证:EF∥平面B1D1C;(2)求二面角B1﹣D1C﹣A的大小;(3)求三棱锥B1﹣ACD1的体积如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)平面EFC⊥面BCD.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2。(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.(1)求证:OD∥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC;(3)求三棱锥P﹣ABC的体积.如图,四棱锥的底面是矩形,,,且侧面PAB是正三角形,平面平面ABCD,E是棱PA的中点。(1)求证:平面EBD;(2)求三棱锥的体积。
直线与平面平行的判定与性质的试题400
如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都是2,D是侧棱CC1上任意一点,E是A1B1的中点。(1)求证:A1B1∥平面ABD;(2)求证:AB⊥CE;(3)求三棱锥C-ABE的体积。如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AECD,DC=AC=2AE=2.(I)求证:AF平面BDE;(Ⅱ)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD中为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是[]A.若l⊥m,m,则l⊥B.若l⊥,l∥m,则m⊥C.若l∥,m,则l∥mD.若l∥,m∥,则l∥m已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.(Ⅰ)求证:PA∥平面BFD;(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的正切值.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2a,AB=a,PA⊥平面ABCD,F是线段BC的中点.H为PD中点.(1)证明:FH∥面PAB;(2)证明:PF⊥FD.直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)若,求A1F与平面DEF所成角的正弦值.直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)若,求A1F与平面DEF所成角的正弦值.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=1,AD=2,M为PD中点.(1)求证:MC∥平面PAB;(2)在棱PD上找一点Q,使二面角Q﹣AC﹣D的正切值为.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=3,DE=4.(1)若F为DE的中点,求证:BE∥平面ACF;(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值.如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD.(1)求证:AB⊥PD;(2)在线段PB上是否存在一点E,使AE∥平面PCD,若存在,指出点E的位置并加已知△ABC是正三角形,GC是△ABC的中线,EA、FB、CD都垂直于平面ABC.EA=3a,AB=CD=2a,FB=a,设平面EDF与平面ABC的交线为l.(1)证明GC∥l;(2)证明平面EABF与平面EDF垂直;(3)求如图,已知四棱锥P﹣ABCD.(1)若底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PA=PD,求证:PB⊥AD;(2)若底面ABCD为平行四边形,E为PC的中点,在DE上取点F,过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG,如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=1,点M,N分别是PD,PB的中点.(I)求证:PB∥平面ACM;(II)求证:MN⊥平面PAC;(III)若,求平面FMN与平如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,CD∥AB,AD⊥AB,BC⊥PC,.(1)求证:PA⊥BC(2)试在线段PB上找一点M,使CM∥平面PAD,并说明理由.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;(Ⅱ)求锐二面角A﹣如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA⊥AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.(1)求证:BC∥平面EFG;(2)求三棱锥E﹣AFG的体积.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:BC⊥平面PAC.如图,四棱锥C-ABCD中,△ABC为正三角形,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2。(Ⅰ)求证:AE∥平面BCD;(Ⅱ)当EM⊥BD时,求二面角M-AB-C的正切值。在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.(1)求证:OD∥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC;(3)求三棱锥P-ABC的体积.设a,b是两条不同直线,α,β是两不同平面,对下列命题:(1)若a∥α,b∥α,则a∥b(2)若a∥α,b∥α,a∥b,则α∥β(3)若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β(4)若a,b在平面α上的射影互相垂直,则a⊥b其中正确命题如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED.(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角D-AC-E的余弦值;(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,已知a,b,l,表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同平面,给出下列四个命题:①若α∩β=a,γ∩β=b,且a∥b,则α∥γ;②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;③已知菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60°(如图1所示),将菱形ABCD沿对角线BD翻折,使点C翻折到点C1的位置(如图2所示),点E,F,M分别是AB,DC1,BC1的中点.(1)证明:BD∥平面EMF;(2)证如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F是BC的中点.(1)求证:DA⊥平面PAC;(2)试在线段PD上确定一点G,使CG∥平面PAF,并求三棱锥如图,点C是以AB为直径的圆上一点,直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直,且DE//BC,DC⊥BC,DE=BC=2,AC=CD=3.(1)证明:EO//平面ACD;(2)证明:平面ACD⊥平面BCDE;(3)求三如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO,试确定点O的位置;(2)求证平面PA如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC=.(Ⅰ)若F为BP的中点,求证:EF∥平面PDC;(Ⅱ)若,求直线AF与平面P如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,PC=.(Ⅰ)求证:EF∥平面PDC;(Ⅱ)若∠CDP=90°,求证BE⊥DP;(Ⅲ)若∠CDP=在如图的多面体中,EF⊥平面AEB,,,G是BC的中点.(Ⅰ)求证:平面DEG;(Ⅱ)求证:BD⊥EG;(Ⅲ)求多面体ADBEG的体积。在边长为6cm的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别MN与平面AEF的位置关系,并如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,且AB=1,AD=CD=2,E在线段PD上.(Ⅰ)若E是PD的中点,试证明:AE∥平面PBC;(Ⅱ)若异面直线BC与PD所成的角为60°,求四棱锥P-如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2.(1)求证:;(2)当时,求二面角的余弦值.关于直线与m,n面α,β,γ有以下三个命题⑴若m∥α,n∥β且α∥β则m∥n⑵若α∩β=m,α⊥γ,β⊥γ则m⊥γ⑶若m⊥α,n⊥β,且α⊥β则m⊥n其中真命题有[]A.1个B.2个C.3个D.0个下图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.(1)求证:BE∥平面PDA;(2)求四棱锥B-CEPD的体积.如图1是正方形ABCD与顶角为120°的等腰△ABE组成的一个平面图形,其中AE=AB=4,翻折正方形所在平面ABCD使得与平面AEB垂直(如图2),F为线段EA的中点.(1)若H是线段BD上的中点,求已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直,且AB⊥AD,AB∥CD,且AD=DC=2,AB=4.(Ⅰ)求证:AB⊥PD(Ⅱ)求点C到平面PAB的距离(Ⅲ)在线段PD上是否存在一点M,使得AM∥平面PBC如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF=2.(1)求证:AC∥平面BEF;(2)求四面体BDEF的体积.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求三棱锥E﹣ABC的体积V.求下面图形的周长和面积.李娜攒了18元钱,给灾区小朋友捐了56,捐了多少钱?如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)(1)求证:AE∥平面DCF;(2)若M是AE的中点,AB=3,∠CEF=90°,求证:平面AEF⊥平面BMC.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小.已知:如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是DA、DC的中点.求证:EF∥平面ABC.如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO=2,AB=2,求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE.下面四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是______已知:平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β.求证:a∥α.如图,PA、PB、PC两两垂直,G是△PAB的重心,E是BC上的一点,且CE=13BC,F是PB上的一点,且PF=13PB(1)求证:GE||平面PAC;(2)求证:GF⊥平面PBC.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)证明E,F,G,H四点共面;(2)证明BD∥平面EFGH.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,请判断向量EF与AD+BC是否共线?“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件直线a∥平面α,P∈α,那么过P且平行于a的直线()A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在平面α内C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在平面α内如图,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求证:CD⊥平面PAC.如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直,M,Q分别为PC,AD的中点.(1)求证:PA∥平面MBD;(2)求:A到平面PBD的距离.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:(1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,点E是PB的中点.(I)证明:BC⊥PC;(Ⅱ)证明:AE∥平面PDC;(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBC.如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,AF∥DE,DE=DA=2AF.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;(Ⅱ)求证:AC∥平面BEF.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC.(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAC;(Ⅱ)若E为AD的中点,求证:CE∥平面PAB.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点.(1)求证:EO‖平面PCD;(2)图中EO还与哪个平面平行?已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点.(1)求证:BC⊥平面AEC;(2)判断直线EM是否平如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°.E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;(Ⅱ)设M为线段DE的如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.如图,矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直,E是QD的中点(I)求证:QB∥平面AEC;(Ⅱ)求证:平面QDC⊥平面AEC.一个多面体的直观图和三视图(主视图、左视图、俯视图)如图所示,M、N分别为A1B、B1C1的中点.(Ⅰ)求证:MN∥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:MN⊥平面A1BC.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.(I)求证:MN∥平面PAD;(Ⅱ)若∠PDA=45°,求MN与平面ABCD所成角的大小.如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱EF∥..12BC.(I)证明FO∥平面CDE;(II)设BC=3CD,证明EO⊥平面CDF.A是平面BCD外一点,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在直线AB,AC,AD,BC,BD,DC中,与平面α平行的直线有()A.0B.1条C.2条D.3条如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE.如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且AMSM=DNNB,求证:MN∥平面SBC在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是______.如图,设a、b是异面直线,AB是a、b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P,求证:P是MN的中点.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,AD上的点,若AMMB=ANND,P为线段CD上的一点(P与D不重合),过M,N,P的平面交平面BCD于Q,求证:BD∥PQ.如图,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.求证:(1)AB⊥平面CDE;(2)平面CDE⊥平面ABC;(3)若G为△ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF∥平面CDE.已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为CD的中点,沿AE将△AED折起,使DB=23,O、H分别为AE、AB的中点.(1)求证:直线OH∥面BDE;(2)求证:面ADE⊥面ABCE.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1).将四边形ABCD沿FG折成空间图形(如图2)后,(1)求证:DE⊥FG;(2)线段BG上是否存在一点M,已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,O在AB上,且OB=OC=23AB,又P0⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=12PO.(I)求证:PB∥平面COD;(II)求证:PD⊥平面COD.如图,已知PA⊥正方形ABCD所在平面,E、F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.(1)求证:EF∥面PAD.(2)求证:面PCE⊥面PCD.如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC,(1)求证:BE∥平面PDA;(2)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB.如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心.如图:(1)证明:PQ∥平面AA1B1B;(2)求线段PQ的长.如图,四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,M为PA的中点.(Ⅰ)求证:PC∥平面BDM;(Ⅱ)若PA=AC=2,BD=23,求直线BM与平面PAC所成的角.下列说法中正确的是()A.平行于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,且F是CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求四面体BCEF的体积.设α、β表示平面,l表示不在α内也不在β内的直线,给出下列命题:①若l⊥α,l∥β,则α⊥β;②若l∥β,α⊥β,则l⊥α;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的命题是()A.①③B.①②C.②③D.①②③如图:△ABC是边长为2的正三角形,EC⊥面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.①求证:DE=DA;②求证:DM∥面ABC;③求C到面ADE的距离.已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+3,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(Ⅰ)求证:BC⊥平面CDE;(Ⅱ)求证:FG∥平面如图,平面内两正方形ABCD与ABEF,点M、N分别在对角线AC、FB上,且AM:MC=FN:NB,沿AB折成直二面角.(1)证明:折叠后MN∥平面CBE;(2)若AM:MC=2:3,在线段AB上是否存在一点G,使如图,圆锥SO中,AB、CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB,P为SB的中点.求证:SA∥平面PCD.已知直线m∥平面α,则下列命题中正确的是()A.α内所有直线都与直线m异面B.α内所有直线都与直线m平行C.α内有且只有一条直线与直线m平行D.α内有无数条直线与直线m垂直如图,PA⊥菱形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PBD⊥平面PAC.在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=12BC.(I)证明:FO∥平面CDE;(II)设BC=3CD,证明EO⊥平面CDF.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PBC;(Ⅱ)若PC=2,求PA与平面PBC所成角的正弦值.在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)BD⊥面EFC.如图所示,PA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,且AB=AC=2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在线段BC上,且CF=2FB.(1)求证:FG∥平面PAB;(2)求证:FG⊥AC;(3)当PA长度为多少时已知空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,(1)求证:BC∥平面AFE;(2)平面ABE⊥平面ACD.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.(1)求证:BD∥平面EFGH;(2)求证:四边形EFGH是矩形.如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,BC=2,E是PC的中点.(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;(Ⅱ)求异面直线AD与BE所成角的大小.