高中数学知识点:直线与平面垂直的判定与性质
◎ 直线与平面垂直的判定与性质的定义

线面垂直的定义:

如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直,就说这条直线l和这个平面α互相垂直,记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。

线面垂直的画法:

画线面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示:

 


 

◎ 直线与平面垂直的判定与性质的知识扩展
1、线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。
2、线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。(线线垂直线面垂直)
3、线面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
(线面垂直线线平行)
◎ 直线与平面垂直的判定与性质的相关定理

线面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。(线线垂直线面垂直)

符号表示:

  如图所示,

 线面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
(线面垂直线线平行)

◎ 直线与平面垂直的判定与性质的知识点拨

线面垂直的判定定理的理解:

(1)判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性语句,一定要记准.
(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论是错误的.
(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,这个结论也错误,因为这无数条直线可能平行.

证明线面垂直的方法:

(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线,这也是线面垂直的必备条件,利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化,这样就完成了空间问题与平面问题的转化.
(2)证线面垂直的方法①利用定义:若一直线垂直于平面内任一直线,则这条直线垂直于该平面.②利用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直,③利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面,④用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.⑤用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一个,那么它必定垂直于另一个平面.⑥用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面的交线垂直于第三个平面.⑦利用向量证明.

◎ 直线与平面垂直的判定与性质的教学目标
1、掌握直线与平面垂直的性质定理与判定定理。
2、会判断直线与平面垂直关系。
3、会用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题。
◎ 直线与平面垂直的判定与性质的考试要求
能力要求:掌握
课时要求:50
考试频率:必考
分值比重:7
◎ 直线与平面垂直的判定与性质的所有试题