高中数学知识点:空间向量的正交分解及其坐标表示
◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的定义

空间向量的正交分解的定义:

对空间的任意向量,均可分解为不共面的三个向量,使,如果两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解。

空间向量的坐标表示:

在空间直角坐标系O—xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。

◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的知识扩展
1、空间向量的正交分解:对空间的任意向量,均可分解为不共面的三个向量,使,如果两两垂直,这种分解就是空间向量的正交分解。
2、空间向量基本定理:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使
3、空间向量的坐标表示:在空间直角坐标系O—xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O—xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。
◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的相关定理

空间向量基本定理:

如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论:

设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使

◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的知识点拨

基底在向量中的应用:

(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点:①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量,就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量:

用已知向量表示未知向量,一定要结合图像,可从以下角度如手:
(1)要用基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中,表示为其它向量的和或差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系;
(3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则用减法,如果此向量与一个易求向量共线,可用数乘。

 

◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的教学目标
1、掌握空间向量的正交分解。
2、掌握空间向量的坐标表示。
◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的考试要求
能力要求:应用
课时要求:20
考试频率:选考
分值比重:3
◎ 空间向量的正交分解及其坐标表示的所有试题
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