渐开线的定义：
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是弧AB的长，这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。
摆线的定义：
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线（或旋轮线）。
渐开线的参数方程：
以基圆圆心O为原点，直线OM0为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)。
显然，点M由角
唯一确定，取为参数，则点A的坐标为
这就是圆的渐开线的参数方程。
摆线的参数方程：
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，圆的半径为r．如图，设开始时定点M在原点，圆滚动了t角后与x轴相切于点A，圆心在点B，从点M分别作AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D．设点M的坐标为(x，y)，取t为参数，根据点M满足的几何条件，
有x=OD=OA-DA
所以，摆线的参数方程为