数学归纳法的试题列表
数学归纳法的试题100
数列{an}满足Sn=2n-an,n∈N*,先计算前4项后,猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.用数学归纳法证明:“12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n(n+1)2(n∈N*)”,从第k步到第k+1步时,左边应加上______.是否存在常数a,b使等式1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=an(n+b)(n+2)对于任意的n∈N+总成立?若存在,求出来并证明;若不存在,说明理由.已知数列{an}中,首项a1=1,Sn是其前n项的和,并且满足Sn=n2an(n∈N*).(1)试求a2,a3,a4,a5;(2)试归纳数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.设n∈N*,n>1,用数学归纳法证明:1+12+13+…+1n>n.已知为正整数,试比较n2与2n的大小.已知数列{an}的首项为a1=1,且数列的前n项和Sn=n2an(n∈N*).(1)求a2,a3,a4,a5的值;(2)猜想数列{an}(3)的通项公式,并用数学归纳法加以证明.设数列{an}的首项a1=12,且an+1=2an1+an(n∈N*).(1)求a2,a3,a4;(2)根据上述结果猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.设在数列{an}中,a1=12,an+1=3anan+3,(1)求a2,a3,a4;(2)根据(1)猜测an的表达式;(3)用数学归纳法证明上述an的表达式.数列{an}中,前n项和为Sn=2n-an(n∈N*)(1)分别求出a2,a3,a4;(2)猜想通项公式an;(3)用数学归纳法证明你的结论.设f(n)=1+12+13+…+1n,那么f(2k+1)-f(2k)=______.用数学归纳法证明:1n+1+1n+2+…+1n+n>1324(n≥2,n∈N*)的过程中,从“k到k+1”左端需增加的代数式为()A.12k+1B.12k+2C.12k+1+12k+2D.12k+1-12k+2已知数列{an}中,a1=13,an+1=an+13-an.(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明.用数学归纳法证明:f(n)=(n+1)(n+2)•…•(n+n)<(2n)n(n≥2,n∈N*)时,f(k+1)=f(k)•______.用数学归纳法证明1+x+x2+…+xn+1=1-xn+21-x(x≠1),在验证当n=1等式成立时,其左边为()A.1B.1+xC.1+x+x2D.1+x+x2+x3等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数的图象上.(Ⅰ)求r的值.(Ⅱ)当b=2时,记bn=2(log2an=1)(n∈N+),证明:对任意的,用数学归纳法证明(1•22-2•32)+(3•42-4•52)+…+[(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2]=-n(n+1)(4n+3).用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于()A.2k+2B.4k+3C.3k+2D.k+1数列{an}中,a1=2,an+1=2-1an,(1)写出a2,a3,a4:(2)猜测{an}表达式,并用数学归纳法证明.已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=2,a2=b2=4.(I)求an、bn;(Ⅱ)对于∀n∈N*,试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结论.设an=1+12+13+…+1n用数学归纳法证明:a1+a2+…+an-1=nan-n,其中n≥2且n∈N*.用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N*).已知数列{an}满足an+1=an-22an-3,n∈N*,a1=12.(Ⅰ)计算a2,a3,a4;(Ⅱ)猜想数列的通项an,并利用数学归纳法证明.给定一个n项的实数列a1,a2,…,an(n∈N*),任意选取一个实数c,变换T(c)将数列a1,a2,…,an变换为数列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样数列{an}满足a1=12,Sn=n2an(n≥1).(1)求S1,S2,S3并猜想Sn;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的正确性.已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R满足条件:an=bn,f(bn)=g(bn+1)(n∈N*).(I)若f(x)≥tx+1,t≠0,t≠2,g(x)=2x,f(b)≠g(b),limn→∞an存在,求x的取值范围;(II)若函数y数列{an}满足a1=3,an+1=4-4an,(1)计算a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.已知数列{an}满足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.(1)用数学归纳法证明:0<an<1;(2)若bn=lg(1-an),且a1=910,求无穷数列{1bn}所有项的和.用数学归纳法证明:3⋅2-1+4⋅2-2+5⋅2-3+…+(n+2)⋅2-n=4-n+42n.(n∈N*)已知数列{an}满足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*).(1)若a=-1,求数列{an}的通项公式;(2)若a=3,试证明:对∀n∈N*,an是4的倍数.利用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>12(n>1,nN*)的过程中,用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为()A.12(k+1)B.12k+1+12(k+1)C.12k+1-12(k+1)D.12k+用数学归纳法证“1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*)”的过程中,当n=k到n=k+1时,左边所增加的项为()A.-12k+2B.12k+1C.12k+1-12k+2D.-1k+1或1k+1已知数列11×4,14×7,17×10…1(3n-2)×(3n+1),计算s1,s2,s3,s4,猜想sn的表达式,并用数学归纳法证明猜想的正确性.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1n-1=2(1n+2+1n+4+…+12n)时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成(类型A)已知数列{an}的前项和为Sn,a1=-23,满足Sn+1Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式并用数学归纳法加以证明(类型B)已知数列{an}的前项和为Sn,a1=-23,满已知数列{an),其中a2=6,an+1+an-1an+1-an+1=n(1)求a1、a3、a4;(2)求数列{an}通项公式;(3)设数列{bn}为等差数列,其中bn=ann+c(c为不为零的常数),若Sn=b1+b2+…+bn,求1S当n∈N*时,Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n,(Ⅰ)求S1,S2,T1,T2;(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n≥1124(n∈N*)时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的式子为()A.12k+1B.12k+2C.12k+1+12k+2D.12k+1-12k+2设函数f(x)=2xx+1,且a1=12,an+1=f(an),其中n=1,2,3,….(I)计算a2,a3,a4的值;(II)猜想数列{an}的通项公式,并用数字归纳法加以证明.设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足an2,Sn,n成等差数列,an>0(n∈N*).(1)写出an与an-1(n≥2)的关系并求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明;(3)设x已知数列{an}满足a1=35,an+1=an2an+1,(Ⅰ)计算出a2、a3、a4;(Ⅱ)猜想数列{an}通项公式an,并用数学归纳法进行证明.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式(1+13)(1+15)…(1+12n-1)>2n+12成立.数列{2n-1}的前n项组成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记已知各项均为正数的数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nann=(a1+1)an3(n∈N*)(I)求a1,a2,a3的值,猜测an的表达式并给予证明;(II)求证:sinπan≥2an;(III)设数列{sinπanan+1}的前n项已知y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)值,猜想f(n)表达式并用数学归纳法证明;(3)若f(1)≥1,求证:f(12n)>0.请观察以下三个式子:①1×3=1×2×96;②1×3+2×4=2×3×116;③1×3+2×4+3×5=3×4×136,归纳出一般的结论,并用数学归纳法证明之.对任意大于或等于2的正整数都成立的不等式:1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>1324,当n=k+1时其左端与n=k时其右端所相差的式子是(其中k∈Z,k≥2)()A.12k+1+12(k+1)B.12k+1+12(k+1)-1k+1C设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1,a2,a3,a4的值,然后猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.②设bn=1anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn.数列{an}满足Sn=2n-an,n∈N+.(Sn为前n项和)(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想an;(2)用数学归纳法证明(1)中的结论.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有2an=Sn+n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设f(n)=n2(n∈N*),试比较Sn与f(n)的大小,并说明理由.设函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos2x+3sinxcosx-12的图象经下列两个步骤变换得到:(1)将函数g(x)的图象向右平移π12个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N,都有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1an+1.观察下列算式:1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52你能得出怎样的结论?用数学归纳法证明:12+122+…+12n<1(n∈N*).是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c).设a>2,给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=x2n2(xn-1)(n∈N*)求证:(1)xn>2,且xn+1<xn(n∈N*);(2)如果2<a≤3,那么xn≤2+12n-1(n∈N*).若n∈N*,(1+2)n=2an+bn(an、bn∈Z).(1)求a5+b5的值;(2)求证:数列{bn}各项均为奇数.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+12n>1324(n>1且n∈N)时,在证明n=k+1这一步时,需要证明的不等式是()A.1k+1+1k+2+…+12k>1324B.1k+1+1k+3+…+12k+12k+1>1324C.1k+2+1k+3+…+已知数列{an}满足:a1=12,an+1=anenan+e,n∈N*(其中e为自然对数的底数).(1)求数列{an}的通项an;(2)设Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1•a2•a3•…•an,求证:Sn≤nn+1,Tn>e-n2.设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1(1+b)n,其中b是与n无关的常数,且b≠-1.(1)求an和an-1的关系式;(2)写出用n和b表示an的表达式;(3)当0<b<1时,已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*).(1)求{bn}的通项公式;(2)求limn→∞(1b2-2+1b3-2+1b4-2+…+1bn-2)的值.(1)证明|sin2x|≤2|sinx|;(x为任意值)(2)已知n为任意正整数,用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|.(x为任意值)设f(k)是满足不等式log2x+log2(3•2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的正整数x的个数.(1)求f(k)的解析式;(2)记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n-1(n∈N*)试比较Sn与Pn的大小.用数学归纳法证明等式cosx2•cosx22•cosx23•…cosx2n=sinx2nsinx2n对一切自然数n都成立.已知数列a1,a2,…an,…和数列b1,b2,…,bn…,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n≥2),(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0),用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.已知:函数fn(x)(n∈N*)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其中f1(x)=x+1+1x,并且当n>1且n∈N*时,满足fn(x)-fn-1(x)=xn+1xn.(1)求函数fn(x)(n∈N*)的解析式;(2)当n=1,2,3时,分别若f(k)=1-12+13-14+…+12k-1-12k,则f(k+1)=f(k)+______.用数学归纳法证明等式:1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),验证n=1时,等式左边=______.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n是正整数),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n是正整数).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求已知数列{an}中,a1=1,an+1=c-1an.(Ⅰ)设c=52,bn=1an-2,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围.已知数列{bn}满足条件:首项b1=1,前n项之和Bn=3n2-n2.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的满足条件:an=(1+1bn)an-1,且a1=2,试比较an与3bn+1的大小,并证明你的结论.当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k─1时命题为真,进而需验证n=______,命题为真.求(n+1)(n+2)…(n+n)=2n′1′2′3′…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为______.已知数列an=1+12+13+…+1n,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12n(2n+2)=n4(n+1)(其中n∈N*).平面内有n个圆,其中每两个圆都交于两点,且无三个圆交于一点,求证:这n个圆将平面分成n2+n+2个部分.已知数列{xn}满足x1=12,xn+1=11+xn,n∈N*;(1)猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;(Ⅱ)证明:|xn+1-xn|≤16(25)n-1.已知函数f(x)=αx1+xα(x>0,α为常数),数列{an}满足:a1=12,an+1=f(an),n∈N*.(1)当α=1时,求数列{an}的通项公式;(2)在(1)的条件下,证明对∀n∈N*有:a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1a将正整数2,3,4,5,6,7,…,n,…作如下分类:(2),(3,4),(5,6,7),(8,9,10,11),…,分别计算各组包含的正整数的和,记为S1,S2,S3,S4,…,记Tn=S1+S3+S5+…+S2n-1已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-12bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试判已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=13,Sn=n(2n-1)an(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步应该验证左式是______,右式是______.设函数fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn.(1)求函数f2(x)在1,2上的值域;(2)证明对于每一个n∈N*,在1,2上存在唯一的xn,使得fn(xn)=0;(3)求f1(a)+f2(a)+…+fn(a)的值.对于数列{An}:A1,A2,A3,…,An,若不改变A1,仅改变A2,A3,…,An中部分项的符号,得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的已知f(n)=1n+1+1n+2+…+13n(n∈N*),则下列结论正确的是()A.f(1)=12B.f(k+1)-f(k)=13k+1+13k+2+13k+3C.f(2)=13+16D.f(k+1)-f(k)=13k+1+13k+2-23k+3设关于正整数n的函数f(n)=1•22+2•32+…n(n+1)2(1)求f(1),f(2),f(3);(2)是否存在常数a,b,c使得f(n)=n(n+1)12(an2+bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论.用数学归纳法证明对任何正整数n有13+115+135+163+…+14n2-1=n2n+1.已知数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)计算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通项公式an;(2)用数学归纳法证明证明:等式nni=1xiyi-ni=1xini=1yinni=1xi2-(ni=1xi)2=1nni=1xiyi-.x.y1nni=1xi2-(.x)2成立.数列{an}中,a1=-23,其前n项和Sn满足Sn=-1Sn-1+2(n≥2),(1)计算S1,S2,S3,S4;(2)猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-12,1Sn+Sn-1=-2(n≥2,n∈N*).(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想Sn的表达式;并用数学归纳法加以证明.某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6,n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数,于是他猜想:是否存在常数a,b,1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)].(Ⅰ)求f2(x),f3(x);(Ⅱ)猜想fn(x)的解析式,并用数学归纳法证明.用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*),第二步由k到k+1时不等式左边需增加()A.12kB.12k-1+1+12kC.12k-1+1+12k-1+2+12kD.12k-1+1+12k-1+2+…+12k利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…12n-1<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项当n∈N*时,Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n,Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n.(Ⅰ)求S1,S2,T1,T2;(Ⅱ)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*)(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.用数学归纳法证明1+q+q2+…+qn+1=qn+2-1q-1(q≠1).在验证n=1等式成立时,等式的左边的式子是()A.1B.1+qC.1+q+q2D.1+q+q2+q3
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