高中数学知识点:复数的四则运算
◎ 复数的四则运算的定义

复数的运算:

1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
3、复数的乘法运算规则:设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并,两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则:

复数加法的几何意义:

设:OZ1,OZ2分别与复数a+bi,c+di对应,且OZ1,OZ2不共线 (如下图),以OZ1,OZ2 为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,则其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(a+c)+(b+d)i对应的向量。
 

复数减法的几何意义:
复数减法是加法的逆运算,设:OZ1,OZ2分别与复数a+bi,c+di对应,且OZ1,OZ2不共线(如下图),,则这两个复数的差z1-z2与向量OZ1-OZ2(等于Z2Z1)对应,这就是复数减法的几何意义。
 
 
共轭复数:

当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi(a、b∈R)互为共轭复数。

◎ 复数的四则运算的知识扩展
一、复数的运算:
1、复数z1与z2的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
2、复数z1与z2的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
3、复数的乘法运算规则:设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并,两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则:
二、复数的运算律:
1、复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);
2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
三、共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi(a、b∈R)互为共轭复数。
◎ 复数的四则运算的相关定理

复数的运算律:

1、复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);
2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

◎ 复数的四则运算的特性

共轭复数的性质:


 
 

 

◎ 复数的四则运算的教学目标
1、会进行复数形式的四则运算。
2、了解复数代数形式的四则运算。
◎ 复数的四则运算的考试要求
能力要求:应用
课时要求:60
考试频率:常考
分值比重:5
◎ 复数的四则运算的所有试题