若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c-高中数学-n多题

◎ 题干

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c…”主要考查了你对【函数的奇偶性、周期性】，【二次函数的性质及应用】，【函数解析式的求解及其常用方法】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c”考查相似的试题有：

● 若函数的图像关于原点对称，则。● 已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）.A．B．6C．4D．● 若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是.● 设是定义在上且以5为周期的奇函数，若则的取值范围是().A．B．C．（0，3）D．● 若是R上周期为5的奇函数，且满足，则().A．B．C．D．