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数学归纳法
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试题详情
◎ 题干
已知函数f（x）=x-
ln(1+x)
1+x
，x∈[0，+∞），数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n+1
=f（a
n
）（n=1，2，3…）
（I）设f′（x）=
g(x)
(1+x)
2
，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）证明：0＜a
n+1
＜a
n
≤1；
（III）记T
n
=
a
n
1
+a
1
+
a
1
a
2
(1
+a
1
)(1
+a
2
)
+…+
a
1
a
2
…
a
n
(1
+a
1
)(1+
a
2
)…(1
+a
n
)
，证明：T
n
＜1．
◎ 答案
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◎ 解析
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◎ 知识点
根据n多题专家分析，试题“已知函数f（x）=x-ln(1+x)1+x，x∈[0，+∞），数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n=1，2，3…）（I）设f′（x）=g(x)(1+x)2，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；（II）证明：0＜an+1＜an≤1；（III）记Tn=a…”主要考查了你对
【数学归纳法】
等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
◎ 相似题
与“已知函数f（x）=x-ln(1+x)1+x，x∈[0，+∞），数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n=1，2，3…）（I）设f′（x）=g(x)(1+x)2，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；（II）证明：0＜an+1＜an≤1；（III）记Tn=a”考查相似的试题有：
● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1＞a24对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．
● 数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）
● （1）用反证法证明：如果x＞12，那么x2+2x-1≠0；（2）用数学归纳法证明：11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*)．
● 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，2Sn=SnSn-1+1（n≥2），求：（1）S1，S2，S3；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
● 数列{an}的通项an=（-1）n+1•n2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-（1+2）a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．
