设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；（Ⅱ）证明：nr+1-(n-1)r+1r+1＜nr＜(n+1)r+1-nr+1r+1；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]-高中数学-n多题

◎ 题干

设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-

]=-1．令S=

3	81

3	82

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（参考数据：80

≈344.7，81

≈350.5，124

≈618.3，126

≈631.7)．

◎ 答案

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；（Ⅱ）证明：nr+1-(n-1)r+1r+1＜nr＜(n+1)r+1-nr+1r+1；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]…”主要考查了你对【函数的单调性与导数的关系】，【函数的最值与导数的关系】，【数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；（Ⅱ）证明：nr+1-(n-1)r+1r+1＜nr＜(n+1)r+1-nr+1r+1；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]”考查相似的试题有：