已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．（Ⅰ）求证：函数g（x）=f(x)x在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x-高中数学-n多题

◎ 题干

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求证：函数g（x）=

f(x)

在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：

ln2²+

ln3²+

ln4²+…+

(n+1)2

ln（n+1）²＞

2(n+1)(n+2)

（n∈N₊）．

◎ 答案

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．（Ⅰ）求证：函数g（x）=f(x)x在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x…”主要考查了你对【函数的单调性与导数的关系】，【函数的最值与导数的关系】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．（Ⅰ）求证：函数g（x）=f(x)x在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x”考查相似的试题有：

● 若定义在R上的函数f(x)的导函数为，且满足，则与的大小关系为（）.A．<B．=C．>D．不能确定 ● 函数定义在上的非负可导函数,且满足,对任意正数,若,则必有().A．B．C．D．● 函数的单调递减区间是().A．（，+∞）B．（－∞，）C．（0，）D．（e，+∞）● 已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.● 设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为()