已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2nx），其中n是正整数．记Sn（x）的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）证明：bn+1-bn=4n+1-2n+2；（Ⅲ）是否存在等比数列{c-高中数学-n多题

◎ 题干

已知n次多项式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整数．记S_n（x）的展开式中x的系数是a_n，x²的系数是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）证明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比数列{c_n}和正数c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项c_n和正数c；若不存在，说明理由．

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2nx），其中n是正整数．记Sn（x）的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）证明：bn+1-bn=4n+1-2n+2；（Ⅲ）是否存在等比数列{c…”主要考查了你对【数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2nx），其中n是正整数．记Sn（x）的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）证明：bn+1-bn=4n+1-2n+2；（Ⅲ）是否存在等比数列{c”考查相似的试题有：

● 数列{an}的通项公式为an＝已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于．● 数列1，2，3，4，…的前n项和为.● 已知等差数列的前n项和为，公差成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第2项、第4项、第8项，，按原来顺序组成一个新数列，且这个数列的前的表达式．● 等差数列中，，（），是数列的前n项和.（1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．● 数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=4n.⑴求通项an；⑵求数列{an}的前n项和Sn.