已知函数f（x）=x﹣ln（1+x），数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）；数列{bn}满足b1=，bn+1≥（n+1）bn，n∈N*．求证：（Ⅰ）0＜an+1＜an＜1；（Ⅱ）an+1＜（Ⅲ）若a1=，则当n≥2时，bn＞ann!．-高中数学-n多题

◎ 题干

已知函数f（x）=x﹣ln（1+x），数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）；数列{b_n}满足b₁=

，b _n+1≥

（n+1）b_n，n∈N*．求证：
（Ⅰ）0＜a _n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a _n+1＜

（Ⅲ）若a₁=

，则当n≥2时，b_n＞a_nn!．

◎ 答案

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◎ 解析

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“已知函数f（x）=x﹣ln（1+x），数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）；数列{bn}满足b1=，bn+1≥（n+1）bn，n∈N*．求证：（Ⅰ）0＜an+1＜an＜1；（Ⅱ）an+1＜（Ⅲ）若a1=，则当n≥2时，bn＞ann!．…”主要考查了你对【函数的单调性与导数的关系】，【函数的最值与导数的关系】，【反证法与放缩法】，【数学归纳法】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“已知函数f（x）=x﹣ln（1+x），数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）；数列{bn}满足b1=，bn+1≥（n+1）bn，n∈N*．求证：（Ⅰ）0＜an+1＜an＜1；（Ⅱ）an+1＜（Ⅲ）若a1=，则当n≥2时，bn＞ann!．”考查相似的试题有：

● 若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1＞a24对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．● 数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）● （1）用反证法证明：如果x＞12，那么x2+2x-1≠0；（2）用数学归纳法证明：11×3+13×5+…+1(2n-1)×(2n+1)=n2n+1(n∈N*)．● 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，2Sn=SnSn-1+1（n≥2），求：（1）S1，S2，S3；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．● 数列{an}的通项an=（-1）n+1•n2，观察以下规律：a1=1a1+a2=1-4=-3=-（1+2）a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3…试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明．