设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素-高中数学-n多题

◎ 题干

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数
f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（I）判断函数

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意
[m，n]

D，都存在x_0∈（m，n），使得等式f（n）﹣f（m）=（n﹣m）f'（x₀）成立．试用这一性质证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）设x₁是方程f（x）﹣x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂﹣x₁|＜1，且|x₃﹣x₁|＜1时，有|f（x₃）﹣f（x₂）|＜2．

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◎ 知识点

根据n多题专家分析，试题“设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素…”主要考查了你对【导数的概念及其几何意义】，【函数的单调性与导数的关系】，【反证法与放缩法】等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。

◎ 相似题

与“设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素”考查相似的试题有：

● 已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是______.● 曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．● 函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是()● 设f′(x)是f（x）的导函数，f′(x)的图象如下图,则f（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．● 曲线在点（0，1）处的切线方程为.