2008年高三理科数学普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）-高中数学-n多题

◎ 2008年高三理科数学普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）的第一部分试题

y=cos（ωx-）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=（）。
若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是（）。
若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=（）。
设集合A={x|（x-1）²<3x+7，x∈R}，则集合A∩Z中有（）个元素。
已知向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a-b|=（）。

在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是（）。

某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：

在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是（）。

设直线y=x+b是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实数b的值为（）。

◎ 2008年高三理科数学普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）的第二部分试题

如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0）；点P（0，p）为线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数。设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程：

，请你完成直线OF的方程：（）x+

。

将全体正整数排成一个三角形数阵：

根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行的从左至右的第3个数是（）。
设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，的最小值是（）。

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆

（a＞b＞0）的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M。若过点P（

，0）所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（）。

满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是（）。
设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a的值为（）。

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

。

（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值。

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点。求证：

（1）直线EF∥平面ACD；
（2）平面EFC⊥平面BCD。

◎ 2008年高三理科数学普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）的第三部分试题

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km。为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO。设排污管道的总长度为ykm。

（1）按下列要求建立函数关系：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（ii）设PO=x（km），将y表示成x的函数。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短。

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（i）当n=4时，求

的数值；
（ii）求n的所有可能值。
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

已知函数

（x∈R，p₁，p₂为常数），函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，

。
（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求证：函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为

（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D。求证：ED²=EC·EB。
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x²+y²=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.
在平面直角坐标系xOy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值。
设a，b，c为正实数，求证：。
如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记。当∠APC为钝角时，求λ的取值范围。

在等式cos2x=2cos²x-1的两边对x求导（cos2x）′=（2cos²x-1）′。由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2）证明：。
（2）对于整数，n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）。