已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 ，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ， 。 |
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（1）设x为点P的横坐标，证明 ； （2）求点T的轨迹C的方程； （3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2。若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。 |
| 函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f'（x）是减函数，且f′（x）＞0。设x0∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））的切线方程，并设函数g（x）=kx+m。 （1）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m； （2）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）； （3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥  在 上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。 |
| 已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）， （Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列； （Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较2f′（1）与23n2-13n的大小。 |
已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中p＞0，（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹的方程； （Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。 |
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已知椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点， （Ⅰ）求双曲线C2的方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+  与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 （其中O为原点），求k的取值范围。 |
数列{an}满足a1=1，且 ，（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）； （Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…。 |
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1= an（4-an），n∈N， （1）证明an＜an+1＜2，n∈N； （2）求数列{an}的通项公式an。 |
