已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切.  
（1）求椭圆C₁的方程；  
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；  
（3）当P不在x轴上时，在曲线C₂上是否存在两个不同点C、D关于PF₂对称，若存在，求出PF₂的斜率范围，若不存在，说明理由。