试题列表1-用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题-高中数学-n多题

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题的试题列表

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题的试题100

如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点。（1）求证：CM⊥EM；（2）求CM与平面CDE所成的角。如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC。（Ⅰ）求二面角E-AC-D1的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。（1）求点E到平面ADB的距离；（2）求二面角E-A1D-B的平面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点。（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小。已知几何体ABCD-EFG中，ABCD是边长为2的正方形，ADEG与CDEF都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF=EG=DE=1。（1）求证：AC∥平面BGF；（2）在AD上求一点M，使GM与平面B 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为。（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；（2）在线段A1C上是否存在一个定点Q，两个连续偶数的和是74，这两个数的最大公因数是[]A．74B．2C．684D．6 运动会上，王老师给同学们买了2箱饮料，每箱24听，每听3元，一共花了多少钱？如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF，（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当A1、E、F、C1共面时，求：①D1到直线C1E的距离；②面A1DE与面C1DF所成二三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC；（2）求二面角B-AP-C的余弦值．如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点。若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。(1)当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；(2)当θ∈[，]时，求二如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点，（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥BG；(Ⅱ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC1A1；(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：BD⊥AA1；(Ⅱ)求二面角D-AA1-C的余弦值；(Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=，（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点。（1）证明：PE⊥BC；（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体在一个小数的末尾去掉两个0，这个小数的大小[]A．缩小为原来的B．扩大为原来的100倍C．不变如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点。（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求二面角A-SC-B的余弦值。如图，在多面体ABCDA1E中，底面ABCD为正方形，AA1⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA1=2AB=4，且CE=λAA1，A1C⊥平面BED。（1）求λ的值；（2）求二面角A1-BD-E的余弦值。某班同学去距学校18千米的北山郊游，只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车，乙组步行，车行至A处，甲组同学下车步行，同时汽车返回接乙组同学，最后两组同学同时到达北山站。一块长方形的花园宽是6米，长是宽的3倍，这块花园的面积是多少平方米？正确的列式是[]A.6×（6+3）B.6×6+3C.6×3×6 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A1A=，M是CC1的中点，(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．如图，已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点，(1)求证：A′E⊥平面BDE；(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG=BB′，求证：FG∥平面BDE；如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h，（Ⅰ）求cos；（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角。已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：平面B1FA⊥平面AEF；(3)求二面角B1-AE 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点，（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：AB1∥平面A1DC；（Ⅲ）求二面角D-A1C-A的余弦值。在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=BC（a＞0），(Ⅰ)当a=1时，求证：BD⊥PC；(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值。如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°，（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小。如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4，（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离。解方程。（1）x+=（2）-x=（3）+x-=4（4）+x=（5）x-=（6）x-（-）=如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD，(Ⅰ)求二面角B-AD-F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角。已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M为AF的中点，BN⊥CE，（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；（Ⅱ）求二面角M-BD-N的大小。如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求证：EF⊥CD；(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，（1）求直线BC1和B1D1所成角的大小；（2）求直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小。找规律填分数。（1）、、、、、（）、（）。（2）、、、、、（）、（）。（3）、、、、、（）、（）。将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=，（Ⅰ）求证：DE⊥AC；（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2，M为PD的中点，求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值。正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求平面BDC与平面DE 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，（1）求证：D′F∥平面A′DE；（2）求二面角A-DE-A′的余弦值。如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点，（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）填表。普通计时法早上7时半中午12时凌晨4时30分24时计时法19：0022：0510：16 填表。普通计时法早上7时半中午12时凌晨4时30分24时计时法19：0022：0510：16 如图，在三棱锥-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°，（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点，（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA1=4，E、M、N分别是CC1、A1B1、AA1的中点，（1）求证：A1B⊥C1M；（2）求BN的长；（3）求二面角B1-A1E-C1平面角的余弦值。将含盐10%的盐水50千克变成含盐20%的盐水，需蒸发（）千克水。如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1，（Ⅰ）证明：EM⊥BF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值。如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6，（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-BD-A的大小。如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点，（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；（2）当a为何值已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又BA1⊥AC1，（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求C1到平面A1AB的距离；（3）求二面角A-A1B-C的余弦值如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点。（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；（Ⅱ）求面EFB和底面ABCD所成角的余弦值大小。如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点。（1）求证：AO∥平面DEF；（2）求证：平面DEF⊥平面BC 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，M为PB的中点。（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D-MC-B的余弦值。如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P。（1）求证：平面PCE⊥平面P 解方程。（1）3x-=（2）x-（+）=（3）6x-0.6=3.4 如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，。（I）求证：平面EAB⊥平面ABCD；（II）求二面角A-EC-D的余弦值。36的因数共有（）个，选出其中四个数组成比例，使两个比的比值等于1，这个比例式是（）。如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°。（1）求证：BD⊥平面ADG；（2）求平面AEFG与平面两个数相加，交换两个加数的位置，和[]A．不变B．变大C．变小如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA1=3，∠BAD=60°，E为AB的中点，（Ⅰ）证明：AC1∥平面EB1C；（Ⅱ）求直线ED1与平面EB1C所成角的正弦值。已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B1在底面上的射影D落在BC上，（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若，且当AC=BC=AA1=3时，求二面角C-如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°，，（Ⅰ）证明：AD⊥PC；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小。如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°，，（Ⅰ）证明：AD⊥PC；（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小。如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点，（Ⅰ）求证：PD⊥AC；（Ⅱ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）证明：BN⊥平面C1NB1；（Ⅱ）求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值。如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点，（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）若M为线段CD上的动已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点，（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB 在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形。AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅲ）设Q为侧棱如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上，（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线BC与AD所成的角；（Ⅲ）求二面如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=，（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值。如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平已知直三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，且D是BC的中点，（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上，，PM=MD，（Ⅰ）求证：PC⊥面AMN；（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值。在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．(1)求证：EF∥平面ACD1；(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC。平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为[]A．30°B．45°C．60°D．90°如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为[]如图，已知正三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC'上是否存在一点N，使得MN⊥AB'?若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx+1，2cos2x+2，0)和点Q(cosx，-1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为____．已知A（2，-5，1），B(2，-2，4)，C（1，-4，1），则与的夹角为[]A．30°B．45°C．60°D．90°如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中点。（1）求证：截面A1EC⊥平面ACC1A1；（2）若AA1=A1B1，且F是AC中点，求直线EF与面A1EC所成角的大小。如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C1Q-C的余弦值为，求实数λ的值．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：（1）求证EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.空间四边形OABC中，OB=OC，，求cos＜＞若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为[]A．0B．1C．﹣1D．2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2（1）求证：SA⊥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点．（1）证明：A1B1⊥C1D；（2）当AM=时，求二面角M﹣DE﹣A的大小．已知四边形ABCD满足ADBC，，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点．（Ⅰ）求四棱B1﹣AECD的体积；（Ⅱ）证明：B1E面ACF；（Ⅲ）求面ADB1与面ECB1所成二

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题的试题200

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（I）求证：AF∥平面BCE；（II）求二面角D﹣BC﹣E的正弦值．如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．（1）求证：EF⊥平面BCD；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞=2π3，则l与α所成的角为（）A．2π3B．π3C．π6D．5π6 如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．正方体AC1中，S，T分别是棱AA1，A1B1上的点，如果∠TSC=90°，那么∠TSB=______．若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，m=(0，3，4)，n=(3，4，0)，则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为______．如图，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，F为BE的中点，DF∥平面ABC，（1）求CD的长；（2）求证：AF⊥BD；（3）求平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角的度数．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则∠AED的大小为（）A．45°B．30°C．60°D．90°在四棱锥AB1中，AB1D1C平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（3）若PA=6，求证：平面PBC⊥平面PDC．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角；④空间中，两向量的夹角，可能为钝角的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求直线EC与平面ABE 如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为13．（1）证明：DF1⊥平面PA1F1；（2）求异面直线如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A1C1-D的大小如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（Ⅰ）求证：B1B∥平面D1AC；（Ⅱ）求二面角B1-AD1-C的余弦值如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（2）求二面角A1-EC-A的余弦值．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，且PA=AD，E，F分别是AB，PC的中点．（1）求证：EF⊥面PCD；（2）若CD=2AD，求BD与面EFD所成角的正弦值．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，且BA•BC=0，异面直线A1B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点．（1）证明：A1E⊥GF；（2）求二面角B1-A1C-C1的如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）证明：平面EB1D⊥平面B1CD；（2）求二面角B1-CD-E的大小；（3）求点E到平面B1CD的距离．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．（1）求A1C与DB所成角的大小；（2）求二面角D-A1B-C的余弦值；（3）若点E在A1B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞=2π3，则l与α所成的角为（）A．2π3B．π3C．π6D．5π6 三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞=π3，则二面角A-BD-C的大小为（）A．π3B．2π3C．π3或2π3D．π6或π3 如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为（）A．36B．34C．33D．233 若向量a=（2，-3，3）是直线l的方向向量，向量b=（1，0，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的大小为______．已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3）则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为______．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．已知空间三点A（1，1，1）、B（-1，0，4）、C（2，-2，3），则AB与CA的夹角θ的大小是______如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，与底面ABCD成300角．若AE⊥PD，E为垂足，PD与底面成30°角．（1）求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成的角如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是______．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PAB是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（1）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（2）求二面角B-PA-D的余弦值．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，PA=6，则B1到平面PAD的距离为______．如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角B1-DC-B的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1C1上是否存在点E，使得CE与DB1成如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；（2）当a为何值时如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求二面角B-AB1-D的正切值．如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC1，求EP的在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E为BD1的中点，F为AB中点．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）若BB1=22，求A1F与平面DEF所成角的正弦值．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点，AB=BB1=2．（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；（Ⅱ）求截如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB．（I）求证：PA∥平面BDE；（II）求证：PB⊥平面DEF；（III）求二面角C-PB 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都为2，∠A1AC=60°（Ⅰ）求证：A1B⊥AC；（Ⅱ）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，求平面A1B1C1与平面ABC所成的锐角的余弦值．如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=25，SA=SC=23，M、N分别是AB、SB的中点；（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，PA=6．（1）求证：PA⊥B1D1；（2）求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且PD=PC=2．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）若A 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，（Ⅰ）求证：DM⊥EB；（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面EDB内一点，HC1=（2m，-2m，-m）（m＜0）．（1）证明HC1⊥平面EDB；（2）求BC1与平面EDB所成的角；（3）若正方体的棱长为a，求三如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=34．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为925．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MC 如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，点E，点F分别是PC，AP的中点．（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3）求二面角A-BE-F的平如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1．（Ⅰ）求证：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离．已知四棱锥P-ABCD．四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．（Ⅰ）求证：PC⊥DB．（Ⅱ）试问：当AP的长度为多少时，二面角D-PC-A的大小为60°？如图（1）是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题．（Ⅰ）求证：MN∥平面PBD；（Ⅱ）求证：AQ⊥平面PBD；（Ⅲ）求二如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角C-PA-B的大小．如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中AB⊥BC，AB=BD=CC1=2，D为AC的中点．（I）证明AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）证明A1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）求二面角A-BC1-D的正切值．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=12AE=2，O、M分别为CE、AB的中点．（1）求异面直线AB与CE所成角的大小．（2）求如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．将△ABD沿对角线BD折起（图2），记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD．（1）求三棱锥P-BCD的体积；如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6．（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；（2）求AB的长；（3）求二面角B-AB1-E的余弦值．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜2)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，如图，ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：MN∥平面A1ACC1；（2）求二面角N-MC-A的正弦值．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证如图在三棱锥A-BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形．（1）求A到平面BCD中的距离；（2）求平面BAC与平面DAC夹角的余如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°，G为BC的中点．（1）求证：AG⊥DE；（2）求二面角A-ED-G的余弦值．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．23B．33C．23D．13 如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．一个多面体的三视图及直观图如图所示：（Ⅰ）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值：（Ⅱ）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3．（1）证明：SA⊥BC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小；（3）求二面角D-SA-B的大小如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：MN∥面PAD；（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E分别是棱C1D1的中点，试求：（1）AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值；（2）二面角C1-DB-A的余弦值．附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设AD=λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，求λ的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B 已知E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于______．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=12AD．（1）求证：平面PAC⊥面PCD；（2）在棱PD上找一点E，使CE∥面PAB 如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．（1）求二面角C-DE-C1的大小；（2）求异面直线EC1与FD1所成角的大小；（3）求异面如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC；（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都向量a=(2，-1，4)与b=(-1，1，1)的夹角的余弦值为______．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，∠ABC=π3，∠BCA=π2，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．若向量a=（1，λ，2），b=（-2，1，1），a，b夹角的余弦值为16，则λ等于（）A．1B．-1C．±1D．2 设向量a=(3，5，-4)，b=(2，1，8)，计算2a+3b，3a-2b，a•b及a与b的夹角，并确定当λ，μ满足什么关系时，使λa+μb与z轴垂直．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B-DE-C的余弦值．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．（1）求二面角D1-AC-D的余弦值；（2）当λ=13时，求直线EF与平面D1AC 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为______．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C-PD-O的余弦值的大小．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，（1）求二面角E-AC-D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．已知四边形ABCD满足AB•BC＞0，CB•CD＞0，CD•DA＞0，DA•AB＞0，则该四边形为（）A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形 P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a．（1）求证：MN是AB和PC的公垂线；（2）求异面二直线AB和PC之间的距离．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=π2，AD=3，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设ABBE=λ(λ＞0)，当λ取何值时，二面角A-EF-C的大小为π3？四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角P-AB-D的大小．在空间坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的几个顶点的坐标分别是C（0，0，0）、D（2，0，0）、B（0，1，0）、C1（0，0，2），向量BA1与向量B1D1夹角的余弦为______．在教材中，我们学过“经过点P（x0，y0，z0），法向量为e=(A，B，C)的平面的方程是：A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0”．现在我们给出平面α的方程是x-y+z=1，平面β的方程是x6-y3-z6=1，则若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量m在a上，向量n在b上，m=(0，3，4)，n=(3，4，0)，则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为______．

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题的试题300

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的动点．（1）当E恰为棱CC1的中点时，试证明：平面A1BD⊥平面EBD；（2）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°？如果存在，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）A．-45B．35C．34D．-35 正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC，BD的交点，则C1O与A1D所成的角是（）A．60°B．90°C．arccos33D．arccos36 （理科）已知直线l的方向向量为（-1，0，1），平面α的法向量为（2，-2，1），那么直线l与平面α所成角的大小为______．（用反三角表示）设A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1）D（1，1，1），求直线AD与平面ABC所成的角．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．cosθ=u•v|u||v|B．cosθ=|u•v||u||v|C．sinθ=u•v|u||v|D．sinθ=|u•v||u||v|若向量a=(1，-2，2)，b=(2，-1，2)，且a与b的夹角余弦为______．若a=(x，2，0)，b=(3，2-x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A．x＜-4B．-4＜x＜0C．0＜x＜4D．x＞4 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求证：C1N⊥平面BCN；（2）求直线B1C与平面C1MN所成角θ的正弦值．四棱锥S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=22，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（Ⅰ）求证：SD∥平面CFA；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角大小．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）若P是DF的中点，（ⅰ）求证：BF∥平面ACP；（ⅱ）求异面直线BE与如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求二面角A-EB-C的大小．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（Ⅰ）求证：PB1∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A-A1D-B 已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．（Ⅰ）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅲ）求二如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=π2，且AB=BC=2AD=2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形．（1）求证：BD⊥PC；（2）求二面角B-PC-D的大小．如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB=2，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大小．一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB1、A1C1的中点，MN⊥AB1．（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC1B1 在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点（1）求证：CF∥平面A′DE（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F 如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．（1）求证：C′E∥面AB′D′；（2）求面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值；（3）求四棱锥B'-ABCD与D 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求二面角P-EC-D的大小．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于矩形AEDC中，B点为ED的中点，AC=AA1=2AE=2．（1）求异面直线AB1与A1D所成角的余弦值；（2）求平面A1B1E与平面AEDC所成二面角大小的余弦值．已知如图，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．（Ⅰ）异面直线AB、CD所成的角为α，异面直线AC、BD所成的角为β，求证：α=β；（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A-PB-E的大小．如图，在长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=2，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．（1）求异面直线AF和BE所成的角；（2）求直线AF和平面BEC所成角的余弦值．已知二面角α-l-β，点A∈α，B∈β，AC⊥l于点C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求证：AB=2的充要条件α-l-β=1200．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．点E在棱PA上，．（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）点E在棱PA上，且PE=λEA，当λ为何值已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高线DO为折痕，将平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，点H为棱AC的中点．（1）求直线OC与直线AB所成的余弦值；（2）求平面ADO与已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．（Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；（Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是底面A1B1C1D1的中心，M是CD的中点，则P到平面AMD1的距离为______．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-B1的余弦值．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=2，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C1，且AC1=2．（1）求证：平面ABD⊥平面BC1D；（2）E为线段AC1上的一个动点，当线段EC1的长如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值；（3）线段BD上是否存在点M，使得AM∥平面BEF？若存在如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=23，∠ABC=π3．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A-A1C-B的正弦值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中点，E是线段AB上的点．（Ⅰ）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A-B1 如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．（1）求证：AB⊥平面PBC；（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；（3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）A．15B．25C．55D．255 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．105B．1010C．13D．223 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（I）求二面角C-DE-C1的正切值；（II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．（Ⅰ）求SC与OB夹角的余弦值；（Ⅱ）求OC与平面SBC 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设AP=λPB（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=6．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值（）A．12B．32C．73D．6 如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求证：面EFG⊥面PAB；（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；（3）求点A到面EFG的距离．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB1∥平面BC1Q．（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；（Ⅱ）若QC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为24，求二面角Q-BC1-C的余弦值．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1-EC-D的大小为如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．155B．22C．105D．0 如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小（理）；求二如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=2，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角D-AC-E的余弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E为PD中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；（3）求二面角E-AC-D的正弦值．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=a，E，F分别为AD，CD的中点．（1）若AC1⊥D1F，求a的值；（2）若a=2，求二面角E-FD1-D的余弦值．如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；（3）求直线PC与平面PBD所成如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求出平面PCD的一个法向量如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PA上是否存如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且CE=1．（1）求证BE⊥B1C；（2）求直线A1B与直线B1C所成角的正弦值．如图，已知四边形ABCD与CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．（1）求证：DC⊥PA；（2）在PB上是否存在一点M（不包含端点P，B）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为线段CD中点．（1）求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值；（2）若AB=2，求二面角A-B1E-A_1的大小；（3）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（1）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（2）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．（I）求证：直线CE∥直线BF；（II）若直线GE与平面ABCD所成角为π6．①求证：FG⊥平面AB 平面α的一个法向量为n=(1，-3，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为（）A．π6B．π3C．π4D．5π6 已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）（Ⅰ）求证：AC⊥BF；（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（32，12，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．（I）求向量OD的坐标；（Ⅱ）设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求P 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）若PA∥平面MQ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点（1）求证：D1B1⊥AE；（2）求D1B1与平面ABE所成角θ的正弦值．如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=12PA，F为PA的中点．（I）求证：DF∥平面PEC（II）若PE=2，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．[理]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，H为平面EDB内一点，HC1={2m，-2m，-m}(m＜0)（1）证明HC1⊥平面EDB；（2）求BC1与平面EDB所成的角；（3）若正方体的棱长为a，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，点E在棱CD上，且CE=13CD．（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）在棱AA1上是否存在点P，使DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA=60°．（Ⅰ）求DH与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DH与平面AA′D′D所成角的大小．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=12CD=1，PD⊥面ABCD，PD=2，E是PC的中点（1）证明：BE∥面PAD；（2）求二面角E-BD-C的大小．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）当BDAB=13时，求二面角B-CD-B1的余弦值．如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=23，E为PC的中点．（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）求C点到平面PBD的距离．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，CC1=3，CE=2EC1（1）求点D1到平面BDE的距离；（2）求直线A1B与平面BDE所成角的正弦值．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函数表示）（3）求点B1到平面如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA1=1，AB=2．（1）求证：A1C1⊥平面BCC1B1；（2）求平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角的大小．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥A-PCD的体积；（3）求二面角B-PC-D的余弦值．已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°（1）证明：AB⊥A1C；（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的余弦值．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为（）A．2B．12C．2D．22 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥SN；（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；（Ⅲ）求直线SN与平面CMN所成四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=2，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；（Ⅲ）如图，在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中，（1）求直线B1D与平面A1BC1所成的角；（2）求点A到面A1BC1的距离．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点，E为BC1的中点（1）求证：OE∥平面A1AB；（2）求二面角A-A1B-C1的正弦值．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：CD⊥AE；（2）证明：PD⊥平面ABE；（3）求二面角B-PC-D的余弦值．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求BN的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M．如图，等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分别为AB，CD的中点．（1）求|SC+SD|的值；（2）求面SCD与面SAB所成的二面角大小．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，AB=BC=2，AA1=22．（1）求证：BC⊥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1AC成角的正弦值．如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC=23，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的正切值．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，PC的中点，且AD=4，PA=AB=2（1）求直线EC和面PAD所成的角（2）求点P到平面AFD的距离．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=22，则AC1与面BDD1所成角的大小是______．

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题的试题400

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；（2）求二面角E-AF-B的余弦值．如图，四棱锥S-ABCD的正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，直线边长为2．（1）求二面角C-SB-A的大小；（2）P为棱SB上的点，当SP的长为何值时，CP⊥SA？底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中，AB=3，BC=1，PA=2，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=2，E、F分别是AB、CD的中点（1）求证：D1E⊥平面AB1F；（2）求直线AB与平面AB1F所成的角；（3）求二面角A-B1F-B的大小．如图，己知平行四边形1BCD中，∠B1D=6三°，1B=6，1D=3，G为CD中点，现将梯形1BCG沿着1G折起到1FoG．（1）求证：直线Co∥平面1BF；（2）如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；（Ⅲ）求点A到平面A1BD的距离．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AD=22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=π2，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且SE=13SD，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E-AC-D 三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，则∠PCB=______．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，PB=29，求PC与AB所成角的余弦值．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为π4，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A'B'，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）A．146B．55C．226D．33 如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求二面角P-CD-B的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD；（3）求点P到平面MND的距离．如图，△PAC与△ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO⊥平面ABC．（1）证明：FE∥平面BOG；（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角．（1）求直线AD1与直线DC所成角的余弦值；（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．